アレンジメント

【あれんじめんと (arrangement)】

概要

超平面のアレンジメントとは, 有限個の超平面による空間の分割である. 双対変換によって, 点集合は超平面集合に変換されるので, アレンジメント構造は点集合上の関係構造にも対応する. また, 有向マトロイドの線形な表現でもある. アレンジメントのフェイスの数の数え上げや, 実際にその構造を求めることは, 離散・計算幾何の基礎となっており, ゾーン定理や, $k\,$-集合に関係するレベルなど種々の有用な定理が知られている.

詳説

　超平面のアレンジメント(hyperplane arrangement) とは, 超平面による空間の 分割である. 双対変換によって, 点集合は超平面集合に変換されるので, 点集合の問題にも対応する. また, 離散システムの観 点からは, 線形有向マトロイドの1つの表現である. 組合せ幾何とアルゴリズ ムからの詳しい解説が [1] にある.

　$d\,$次元ユークリッド空間${\mathbf {R} }^{d}\,$内の$n\,$個の超平面($d=2\,\,$の場合は直線) の集合$H\,$を考える. この$H\,$によって, ${\mathbf {R} }^{d}\,$はいろいろな次元のフェイス (face) に分割される. 例えば, 2次元内の有限個の直線の集合は, 2次元, 1次元, 0次元のフェイス (面, 辺, 点) に平面を自然に分割する. これらのフェイスの集合とその接続関係, 各フェイスに対しそれを含む超平面の情報を合わせたものを$H\,$のアレンジメントといい, ${\mathcal {A}}(H)\,$と書く. フェイスの次元を明記したいときは, $k\,$次元$(0\leq k\leq d)\,$のフェイスを$k\,$-フェイスと書く. $0\,$-フェイスを頂点, $1\,$-フェイスを辺, $(d-1)\,$-フェイスを ファセット (facet), $d\,$-フェイスをセル (cell) とも呼ぶ.

　フェイス$f\,$がフェイス$g\,$の部分フェイスであるとは, $f\,$の次元が$g\,$の次元 より1だけ小さく, $f\,$が$g\,$の境界に含まれていることである. $f\,$が$g\,$の部 分フェイスならば, $f\,$と$g\,$は (互いに) 接続しているといい, この関係 を接続関係という. フェイスの接続関係全体は束をなし, アレンジメントは, 各フェイスの座標など幾何情報と, このフェイスのなす束で表される.

　${\mathbf {R} }^{d}\,$内の$n\geq d\,$個の超平面のアレンジメントが単純 (simple) である とは, $H\,$に属する任意の$d\,$個の超平面は1点で交わり, どの$d+1\,$個の超平面 も共通の交点をもたないことである. アレンジメントの$k\,$-フェイスの最大数$f_{k}(H)\,$は, アレンジメントが単純であるとき達成され,

$f_{k}(H)=\sum _{i=0}^{k}{d-i \choose k-i}{n \choose d-i}\,$

で与えられる. 特に, $d\,$-フェイス, すなわちセルの数は$d\,$を定数とみなすと $\textstyle f_{d}(H)={\sum }_{i=0}^{d}{n \choose d-i}={\rm {O}}(n^{d})\,$となる.

　アレンジメントは逐次添加法で構成できる. 超平面を1つずつ付け加え, アレンジメントの接続関係を更新していく方法である. 2次元の場合で, 平面上の$n\,$本の直線からなる単純なアレンジメントを構成する方法を述べる. $n\,$本の直線の集合を$L=\{l_{1},l_{2},\cdots ,l_{n}\}\,$とし, $(x,y)\,$平面上にあるとする. $k-1\,$本の直線$l_{1},\cdots ,l_{k-1}\,$からなるアレンジメントに$k\,$番目の 直線$l_{k}\,$を加えてアレンジメントを更新する. 各頂点には, この頂点に接続している4つの辺を反時計回りの 順で貯えておく. 各辺には, その辺を含む直線の式と辺の両端点の頂点を覚えておく. $x=-\infty \,$で$l_{k}\,$のすぐ上にある直線を左から辿り, この辺の下に接続している面の境界を時計回りに回って行く. $l_{k}\,$と交わった時は, その交点から始めて, 今度は隣の面の境界 を時計回りに辿る. これを$l_{k}\,$がすでにアレンジメントに存在していた $k-1\,$本の直線と交わるまで行なう. この操作により, $l_{k}\,$上に新たに現れる頂点もすべて列挙することができ, そこでアレンジメントを更新していくことができる. その手間は, 直線$l_{k}\,$と交わる面の境界上で 辿る辺の数に比例する.

　$d\,$次元の$n\,$個の超平面のアレンジメントにおいて, 新たに1つ超平面$h\,$を加え, $h\,$と交わる各セルのフェイスの集合をゾーンと定義すると, 次のゾーン定理が成り立つ.

ゾーン定理. $d\,$次元空間内の$n\,$個の超平面から成るアレンジメントにおいて, 1つの超平面のゾーンのフェイスの総数は${\rm {O}}(n^{d-1})\,$である.

　このゾーン定理より, アレンジメントを逐次添加法で構成したときの計算量を ${\rm {O}}(n^{d})\,$でおさえることができる.

　ゾーン定理の離散幾何への応用を1つ上げておく. $d\,$次元の$n\,$超平面のアレンジメントのセルの集合を ${\mathcal {C}}\,$, 各セル$c\in {\mathcal {C}}\,$のファセットの数を$d(c)\,$としたとき, $\textstyle {\sum }_{c\in {\mathcal {C}}}d(c)^{2}={\rm {O}}(n^{d})\,$が成り立つ. $\textstyle {\sum }_{c\in {\mathcal {C}}}d(c)={\rm {O}}(n^{d})\,$ であるから, 各セルのファセットの数はそんなに分散が大きくないことが わかる. 2次元の場合には, このような関係から複数のセルの辺の数を評価することができる.

　$d\,$次元超平面アレンジメントにおいて, $x_{d}\,$軸に平行な直線で貫いたときに下から$k\,$番目となる交点をもつフェイス全体の集合を$k\,$-レベル, または単にレベル という. 2次元の場合, 高々$k\,$までのレベルのサイズは${\rm {O}}(kn)\,$であり, $k\,$-レベルのサイズは${\rm {O}}({\sqrt {k}}n)\,$となる. 双対性より, これは平面の$n\,$点を直線で等分割する方法の数が${\rm {O}}(n^{1.5})\,$であることも 意味する. $k\,$-レベルを ${\rm {O}}({\sqrt {k}}n(\log n)^{2})\,$時間で求める 平面走査法アルゴリズムが知られている.

　3次元の平面のアレンジメントでもレベルのサイズは${\rm {o}}(n^{3})\,$である. 4次元以上の 場合, 全体より小さいオーダであるかどうかはわかっていない. また, 高次元の場合 は, 0, 1次元フェイスの頂点, 辺で構成されるスケルトンをたどるアルゴリズムも知られており, 特に3次元ではアレンジメント全体を 求めるよりも効率よく計算できる. レベルや1つのセルのスケルトンも 有用で, 点集合の問題を双対変 換して解いている場合, スケルトンのみで十分な場合もある.

　曲線・曲面のアレンジメントも有用であり, このアレンジメントの1つのセルやゾーンの 組合せ複雑度の解析は, Davenport-Schinzel列の理論としてまとめられている. 定数次数の代数曲線のアレンジメントでは, セルのフェイス数は 一般次元で全体のオーダよりほぼ1つ小さな次数の数でおさえられる.

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参考文献

[1] H. Edelsbrunner, Algorithms in Combinatorial Geometry, Springer-Verlag, 1987. 邦訳 (今井浩, 今井桂子訳), 『組合せ幾何学のアルゴリズム』, 共立出版, 1995.