「相型分布」の版間の差分

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'''【そうがたぶんぷ (phase-type distribution)】'''
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'''【 そうがたぶんぷ (phase-type distribution) 】'''
  
複数の相を確率ネットワークとしてむすんだとき, ネットワーク内に客は1人しか入れないとしてそのネットワークのある相に入った後, 複数の相に滞在して最後にネットワークから出るまでの時間の分布. 各相ではおのおの定められたパラメータの指数分布にしたがう時間滞在し, 次の相(もしくは退去)は確率的に選ばれる. 指数分布, アーラン分布, 超指数分布などをその特殊な場合として含み, 正の値をとるすべての分布のクラスの中で稠密である.
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連続時間有限状態吸収[[マルコフ連鎖]]が吸収されるまでの時間が従う分布.
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 状態 0 が吸収状態,状態 <math>i \in M =\{1,2,\ldots,M\}\,</math> が一時的状態である連続時間有限状態吸収マルコフ連鎖 <math>X(t)\,</math> を考える.このとき <math>X(t)\,</math> の推移率行列は
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<math>
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\left(\begin{array}{cc}
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0 & 0 \\
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-\mathbf{T} \mathbf{e} & \mathbf{T}
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\end{array}
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\right)
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</math>
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</center>
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の形に書ける.ただし <math>\mathbf{e}</math> はすべての要素が 1 の列ベクトルである.このマルコフ連鎖の初期状態分布を <math>(0, \mathbf{\alpha})</math> としたとき,<math>X(t)\,</math> が吸収されるまでの時間は <math>(0,\infty)</math> 上の確率分布を定め,これを表現<math>(\mathbf{\alpha}, \mathbf{T})</math> をもつ相型分布(phase-type distribution)という.以下ではマルコフ連鎖 <math>X(t)\,</math> の一時的状態を相と呼ぶ.
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 定義より,表現 <math>(\mathbf{\alpha}, \mathbf{T})\,</math> をもつ相型分布の分布関数は <math>F(x) = 1 - \mathbf{\alpha} \exp(\mathbf{T} x) \mathbf{e}</math> となり,その平均は<math>\mathbf{\alpha} (-\mathbf{T})^{-1}\mathbf{e}</math> である.相の数 <math>M</math> を十分に大きく取ることにより,相型分布は <math>(0,\infty)</math> で定義されたあらゆる確率分布を任意の精度で近似できることが知られており,[[指数分布]],[[アーラン分布]],[[超指数分布]]など,待ち行列で頻繁に用いられる確率分布を特別な場合として含む.
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[[category:確率と確率過程|そうがたぶんぷ]]
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[[category:待ち行列ネットワーク|そうがたぶんぷ]]

2008年11月11日 (火) 14:21時点における最新版

【 そうがたぶんぷ (phase-type distribution) 】

連続時間有限状態吸収マルコフ連鎖が吸収されるまでの時間が従う分布.

 状態 0 が吸収状態,状態 が一時的状態である連続時間有限状態吸収マルコフ連鎖 を考える.このとき の推移率行列は

の形に書ける.ただし はすべての要素が 1 の列ベクトルである.このマルコフ連鎖の初期状態分布を としたとき, が吸収されるまでの時間は 上の確率分布を定め,これを表現 をもつ相型分布(phase-type distribution)という.以下ではマルコフ連鎖 の一時的状態を相と呼ぶ.

 定義より,表現 をもつ相型分布の分布関数は となり,その平均は である.相の数 を十分に大きく取ることにより,相型分布は で定義されたあらゆる確率分布を任意の精度で近似できることが知られており,指数分布アーラン分布超指数分布など,待ち行列で頻繁に用いられる確率分布を特別な場合として含む.