「《待ち行列の極限モデル（流体近似と拡散近似）》」の版間の差分

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[[待ち行列]]モデルにおいては，窓口が１つの場合にポアソン到着やサービス時間が指数分布に従うことを仮定すると待ち時間や待ち人数の定常分布やそのモーメントを比較的簡単な式で表すことができる．しかし，このような解析的結果が得られるモデルは限られ，一般的なモデルについて，性能評価量を簡単な式で表すことは困難である．これに対して，数値的な評価は位相型モデルを使うことにより広い範囲で可能である．しかし，数値的結果は個別的であり，モデルの特性を大まかにつかむマクロ的な視点からは不十分である.
 
[[待ち行列]]モデルにおいては，窓口が１つの場合にポアソン到着やサービス時間が指数分布に従うことを仮定すると待ち時間や待ち人数の定常分布やそのモーメントを比較的簡単な式で表すことができる．しかし，このような解析的結果が得られるモデルは限られ，一般的なモデルについて，性能評価量を簡単な式で表すことは困難である．これに対して，数値的な評価は位相型モデルを使うことにより広い範囲で可能である．しかし，数値的結果は個別的であり，モデルの特性を大まかにつかむマクロ的な視点からは不十分である.
  
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'''極限モデル'''　モデルをマクロ的な視点から分類し特性を調べるために，時間と空間の\yougolink{B-A-11}{確率過程の尺度変換}{尺度変換}（スケール変換）を行ったモデルの列の極限を使う方法がある．この極限モデルの特性が解明できるならば，広い範囲のモデルの特性について役立つ情報が得られる．例えば，実数値を取る確率過程の時間を$n$倍し，状態を$\frac 1n$倍すると確定的な極限過程になり，状態を$\frac 1{\sqrt{n}}$倍するとブラウン運動となる場合が多い．より一般的に，$H > 0$に対して状態を$n^{-H}$倍することもある．この方法は，モデルの近似と考えることもできるが，数学的に精密に極限を求めるため直感的な近似モデルとは異なる．
 
  
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このような尺度変換により現れる各種の極限モデルを窓口が１つで待合室に入る客数に制限がない先着順モデルついて述べる．システムは初め空であり，時刻$0$から稼働を始める．$\ell=1,2,\ldots$に対して，$\ell$番目の客が時刻$t_{\ell}$に到着し，そのサービス時間を$S_{\ell}$，サービスを受けるまでの待ち時間を$W_{\ell}$とする．$X_{\ell} = S_{\ell} - (t_{\ell+1} - t_{\ell})$とおくと，
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'''極限モデル'''　モデルをマクロ的な視点から分類し特性を調べるために，時間と空間の[[確率過程の尺度変換|尺度変換]]（スケール変換）を行ったモデルの列の極限を使う方法がある．この極限モデルの特性が解明できるならば，広い範囲のモデルの特性について役立つ情報が得られる．例えば，実数値を取る確率過程の時間を<math>n</math>倍し，状態を<math>\tfrac{1}{n}</math>倍すると確定的な極限過程になり，状態を<math>\tfrac 1{\sqrt{n}}</math>倍するとブラウン運動となる場合が多い．より一般的に，<math>H > 0</math>に対して状態を<math>n^{-H}</math>倍することもある．この方法は，モデルの近似と考えることもできるが，数学的に精密に極限を求めるため直感的な近似モデルとは異なる．
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\begin{eqnarray*}
 
−
  W_{\ell+1} = \max( W_{\ell} + X_{\ell} , 0), \qquad \ell =1,2,\ldots,
 
−
\end{eqnarray*}
 
−
が成り立つ．ここに，$W_{1} = 0$とする．次に，
 
−
\begin{eqnarray*}
 
−
  Y_{\ell} = X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{\ell}, \qquad \ell =1,2,\ldots,
 
−
\end{eqnarray*}
 
−
とおく．上記の関係式より，待ち時間の列$W_{1}, W_{2}, \ldots, W_{\ell+1}$は$Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{\ell}$を使って表すことができる．$Y_{\ell}$は最初の$\ell$人の客のサービス時間の和からサービスに使うことが可能な時間を差し引いたものであり，累積入出力過程と呼ぶ．
 
  
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尺度変換を行うためには連続時間のほうが都合がよい．そこで，$t$が$\ell \le t < \ell+1$ならば$W(t) = W_{\ell}$とおくことにより，連続変数$t$の関数$W(t)$を定義する．同様に，$Y_{\ell}$に対して，$Y(t)$を定義する．このとき，$\vc{W} = \{W(t); t \ge 0\}$，$\vc{Y} = \{Y(t); t \ge 0\}$とし，半直線$[0,\infty)$上の右連続で左極限をもつ関数の集合を$D$により表すと，$D$から$D$への関数$\psi$を使って$ \vc{W}= \psi(\vc{Y})$と表すことができる（詳しくは\cite{A11+Billingsley}参照）．
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このような尺度変換により現れる各種の極限モデルを窓口が１つで待合室に入る客数に制限がない先着順モデルついて述べる．システムは初め空であり，時刻<math>0</math>から稼働を始める．<math>\ell=1,2,\ldots</math>に対して，<math>\ell</math>番目の客が時刻<math>t_{\ell}</math>に到着し，そのサービス時間を<math>S_{\ell}</math>，サービスを受けるまでの待ち時間を<math>W_{\ell}</math>とする．<math>X_{\ell} = S_{\ell} - (t_{\ell+1} - t_{\ell})</math>とおくと，
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<table align="center">
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<tr>
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<td><math>W_{\ell+1} = \max( W_{\ell} + X_{\ell} , 0), \qquad \ell =1,2,\ldots,</math>
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</td>
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</tr>
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</table>
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が成り立つ．ここに，<math>W_{1} = 0</math>とする．次に，
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<table align="center">
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<tr>
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<td><math>Y_{\ell} = X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{\ell}, \qquad \ell =1,2,\ldots,</math>
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</td>
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とおく．上記の関係式より，待ち時間の列<math>W_{1}, W_{2}, \ldots, W_{\ell+1}</math>は<math>Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{\ell}</math>を使って表すことができる．<math>Y_{\ell}</math>は最初の<math>\ell</math>人の客のサービス時間の和からサービスに使うことが可能な時間を差し引いたものであり，累積入出力過程と呼ぶ．
  
−
このモデルは$\vc{Y}$により決まる．そこで，$n = 1,2, \ldots$に対して，$\vc{Y}^{(n)}$により，$n$番目のモデルを表す．$\psi$は関数空間$D$に適切に与えた距離の下で連続であり，$n \to \infty$のとき，$\vc{Y}^{(n)} \Rightarrow \vc{Y}^{(\infty)}$ならば，$\psi(\vc{Y}^{(n)}) \Rightarrow \psi(\vc{Y}^{(\infty)})$が成り立つ．ここに，$\Rightarrow$は[[分布の弱収束]]することを表す．これを連続写像定理と呼ぶ．例えば，各$t \ge 0$に対して，$n$番目のモデルの$W^{(n)}(t)$の分布は，$n \to \infty$のとき極限モデルの$W^{(\infty)}(t)$の分布に弱収束する．このようにして，$\vc{Y}^{(\infty)}$を累積入出力過程とする極限モデルが得られる．\medskip
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尺度変換を行うためには連続時間のほうが都合がよい．そこで，<math>t</math> が<math>\ell \le t < \ell+1</math>ならば<math>W(t) = W_{\ell}</math>とおくことにより，連続変数<math>t</math>の関数<math>W(t)</math>を定義する．同様に，<math>Y_{\ell}</math>に対して，<math>Y(t)</math>を定義する．このとき，<math>\mathbf{W} = \{W(t); t \ge 0\}</math>，<math>\mathbf{Y} = \{Y(t); t \ge 0\}</math>とし，半直線<math>[0,\infty)</math>上の右連続で左極限をもつ関数の集合を<math>D</math>により表すと，<math>D</math>から<math>D</math>への関数<math>\psi</math>を使って<math>\mathbf{W}= \psi(\mathbf{Y})</math>と表すことができる（詳しくは [1] 参照）．
  
−
'''自己相似過程への収束'''　具体的に極限モデルを得るために，$\vc{Y}$の時間を$n$倍し，平均を$d_{n}$により調整し，大きさを$c_{n}$倍縮小した尺度変換
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このモデルは<math>\mathbf{Y}</math>により決まる．そこで，<math>n = 1,2, \ldots</math>に対して，<math>\mathbf{Y}^{(n)}</math>により，<math>n</math>番目のモデルを表す．<math>\psi</math>は関数空間<math>D</math>に適切に与えた距離の下で連続であり，<math>n \to \infty</math>のとき，<math>\mathbf{Y}^{(n)} \Rightarrow \mathbf{Y}^{(\infty)}</math>ならば，<math>\psi(\mathbf{Y}^{(n)}) \Rightarrow \psi(\mathbf{Y}^{(\infty)})</math>が成り立つ．ここに，<math>\Rightarrow</math>は[[分布の弱収束]]することを表す．これを連続写像定理と呼ぶ．例えば，各<math>t \ge 0</math>に対して，<math>n</math>番目のモデルの<math>W^{(n)}(t)</math>の分布は，<math>n \to \infty</math>のとき極限モデルの<math>W^{(\infty)}(t)</math>の分布に弱収束する．このようにして，<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>を累積入出力過程とする極限モデルが得られる．
−
\begin{eqnarray}
 
−
\label{eqn:K-B-A-11:Y}
 
−
  Y^{(n)}(t) = c_{n}^{-1} (Y_{[n t]} - d_{n} n t)
 
−
\end{eqnarray}
 
−
により$\vc{Y}^{(n)}$の各要素$Y^{(n)}(t)$を定義する．ここに，$[a]$は実数$a$を超えない最大の整数とする．このとき，$\vc{Y}^{(n)}$の分布が$\vc{Y}^{(\infty)}$の分布へ弱収束するならば，$\vc{Y}^{(\infty)}$は[[自己相似過程} (self similar process)となる．その[[ハースト定数]] (Hurst parameter)を$H > 0$とするならば，任意の定数$\lambda>0$に対して，$  \lim_{x \to \infty} {L(\lambda x)}/{L(x)} = 1$を満たす関数$L(x)$を使い，$c_{n} = n^{H} L(n)$と表すことができる（\cite{A11+Whitt}の4.2節参照）．\medskip
 
  
−
'''安定レヴィー過程'''　確率変数列$X_{1}, X_{2}, \ldots$は独立で同一の分布$F$に従うとする．このとき，\eqn{K-B-A-11:Y}で定義した$Y^{(n)}(t)$に対して，$\{Y^{(n)}(t); t \ge 0\} \Rightarrow \{Y^{(\infty)}(t); t \ge 0 \}$となる確定的ではない極限過程$\vc{Y}^{(\infty)} \equiv \{Y^{(\infty)}(t)\}$が存在するならば，この極限過程は自己相似である．そのハースト定数$H$に対し，$\alpha = \frac 1H$とすると，$Y^{(\infty)}(1)$は$\alpha$-[[安定分布]] (stable distribution)をもつ．この極限過程$\vc{Y}^{(\infty)}$を$\alpha$-安定[[レヴィー過程]]（Levy過程）と呼ぶ．この極限過程は，$X_{n} $の平均が有限ならば，$1 < \alpha \le 2$であり，$X_{n}$の平均が存在しないならば，$0 < \alpha \le 1$となる．例えば，$\alpha = 2$ならば，$\vc{Y}^{(\infty)}$はブラウン運動に等しく，$0 < \alpha < 2$ならば，確定的変化を除くと分散が無限大で離散的な時刻でのみ変化する標本関数をもつ（\cite{A11+Whitt}の4.2節参照）．\medskip
 
  
−
'''極限過程の分類'''　$X_{1}, X_{2}, \ldots$が独立で同一の分布に従い，各$X_{n}$は有限な平均$m_{X}$をもつと仮定する．このとき，\eqn{K-B-A-11:Y}において$c_{n} = n^{H}, d_{n} = m_{X} n$とし，$\vc{Y}^{(n)}$を定義する．極限過程$\vc{Y}^{(\infty)}$が存在するならば，$\alpha = \frac 1H$とすると，自己相似過程と安定分布の結果から次のことが成り立つ．
+
'''自己相似過程への収束'''　具体的に極限モデルを得るために，<math>\mathbf{Y}</math>の時間を<math>n</math>倍し，平均を<math>d_{n}</math>により調整し，大きさを<math>c_{n}</math>倍縮小した尺度変換
−
\begin{itemize}
+
<table align="center">
−
\item [(i)] $H=1$ならば，$\vc{Y}^{(\infty)}$は確定的な過程である．
+
<tr>
−
\item [(ii)] $H \ne 1$ならば，$\frac 12 \le H < 1$であり，$\vc{Y}^{(\infty)}$は$\alpha$-安定レヴィー過程である．
+
<td><math>Y^{(n)}(t) = c_{n}^{-1} (Y_{[n t]} - d_{n} n t)</math></td>
−
\end{itemize}
+
<td width="200" align="right"><math>(1) \,</math> </td>
−
(i)の場合を流体近似，(ii)で$H = \frac 12$の場合を拡散近似と呼ぶ．$\frac 12 < H < 1$の場合には，$\vc{Y}^{(\infty)}$は増分が無限大の分散をもち，標本関数は離散的に変化する．
+
</tr>
 +
</table>
 +
により<math>\mathbf{Y}^{(n)}</math>の各要素<math>Y^{(n)}(t)</math>を定義する．ここに，<math>[a]</math>は実数<math>a</math>を超えない最大の整数とする．このとき，<math>\mathbf{Y}^{(n)}</math>の分布が<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>の分布へ弱収束するならば，<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>は[[自己相似過程]] (self similar process)となる．その[[ハースト定数]] (Hurst parameter)を<math>H > 0</math>とするならば，任意の定数<math>\lambda>0</math>に対して，<math>  \lim_{x \to \infty} {L(\lambda x)}/{L(x)} = 1</math>を満たす関数<math>L(x)</math>を使い，<math>c_{n} = n^{H} L(n)</math>と表すことができる（[3]の4.2節参照）．
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'''安定レヴィー過程'''　確率変数列<math>X_{1}, X_{2}, \ldots</math>は独立で同一の分布<math>F</math>に従うとする．このとき，(1)で定義した<math>Y^{(n)}(t)</math>に対して，<math>\{Y^{(n)}(t); t \ge 0\} \Rightarrow \{Y^{(\infty)}(t); t \ge 0 \}</math>となる確定的ではない極限過程<math>\mathbf{Y}^{(\infty)} \equiv \{Y^{(\infty)}(t)\}</math>が存在するならば，この極限過程は自己相似である．そのハースト定数<math>H</math>に対し，<math>\alpha = \frac 1H</math>とすると，<math>Y^{(\infty)}(1)</math>は<math>\alpha</math> - [[安定分布]] (stable distribution)をもつ．この極限過程<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>を<math>\alpha</math>-安定[[レヴィー過程]]（Levy過程）と呼ぶ．この極限過程は，<math>X_{n} </math>の平均が有限ならば，<math>1 < \alpha \le 2</math>であり，<math>X_{n}</math>の平均が存在しないならば，<math>0 < \alpha \le 1</math>となる．例えば，<math>\alpha = 2</math>ならば，<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>はブラウン運動に等しく，<math>0 < \alpha < 2</math>ならば，確定的変化を除くと分散が無限大で離散的な時刻でのみ変化する標本関数をもつ（[3]の4.2節参照）．
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'''極限過程の分類'''　<math>X_{1}, X_{2}, \ldots</math>が独立で同一の分布に従い，各<math>X_{n}</math>は有限な平均<math>m_{X}</math>をもつと仮定する．このとき，(1)において<math>c_{n} = n^{H}, d_{n} = m_{X} n</math>とし，<math>\mathbf{Y}^{(n)}</math>を定義する．極限過程<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>が存在するならば，<math>\alpha = \frac 1H</math>とすると，自己相似過程と安定分布の結果から次のことが成り立つ．
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:(i) <math>H=1</math>ならば，<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>は確定的な過程である．
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:(ii) <math>H \ne 1</math>ならば，<math>\frac 12 \le H < 1</math>であり，<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>は<math>\alpha</math> - 安定レヴィー過程である．  
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(i)の場合を流体近似，(ii)で<math>H = \frac 12</math>の場合を拡散近似と呼ぶ．<math>\frac 12 < H < 1</math>の場合には，<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>は増分が無限大の分散をもち，標本関数は離散的に変化する．
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流体近似では極限過程が確定的であり，ランダムな要因の評価ができない．しかし，確率的な評価が難しい過渡的な現象を調べるために役立つ．これに対して，ブラウン運動は解析的に魅力あるモデルであり，拡散近似はランダムな要因を量る近似モデルとして広く使われている．また，<math>\frac 12 < H < 1</math>の場合は解析的に扱いにくいが，サービス時間分布の[[重い裾をもつ分布|裾が重い]]場合の近似モデルとして有効である．なお，<math>X_{1}, X_{2}, \ldots</math>が独立でない場合には，<math>0 < H < \frac 12</math>の場合も起こりえる．例えば，[[フラクタルブラウン運動]]では，<math>0 < H < 1</math>であり，<math>H</math>が大きいほど強い相関を表す．
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流体近似では極限過程が確定的であり，ランダムな要因の評価ができない．しかし，確率的な評価が難しい過渡的な現象を調べるために役立つ．これに対して，ブラウン運動は解析的に魅力あるモデルであり，拡散近似はランダムな要因を量る近似モデルとして広く使われている．また，$\frac 12 < H < 1$の場合は解析的に扱いにくいが，サービス時間分布の\yougolink{B-A-11}{重い裾をもつ分布}{裾が重い}場合の近似モデルとして有効である．なお，$X_{1}, X_{2}, \ldots$が独立でない場合には，$0 < H < \frac 12$の場合も起こりえる．例えば，[[フラクタルブラウン運動]]では，$0 < H < 1$であり，$H$が大きいほど強い相関を表す．\medskip
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'''重負荷近似'''　 (ii)の極限過程は，<math>Y^{(n)}(t) = c_{n}^{-1} (Y_{[n t]} - d_{n} n t)</math>の定義から<math>Y^{(n)}(t)</math>の平均が<math>0</math>のため，<math>\psi(\mathbf{Y}^{(\infty)})</math>は定常分布をもたず，近似モデルとして使えない．定常分布が存在するためには<math>\eta \equiv E(Y^{(\infty)}(1)) < 0</math>が必要である．そこで，(ii)のモデルの<math>X_{\ell}</math>を<math>n</math>ごとに変え，<math>X_{\ell}^{(n)}</math>と表す．ただし，<math>X^{(n)}_{1}, X^{(n)}_{2}, \ldots</math>は独立で同一の分布に従うとする．
−
+
<table align="center">
−
'''重負荷近似'''　 (ii)の極限過程は\eqn{K-B-A-11:Y}の定義から$Y^{(n)}(t)$の平均が$0$のため，$\psi(\vc{Y}^{(\infty)})$は定常分布をもたず，近似モデルとして使えない．定常分布が存在するためには$\eta \equiv E(Y^{(\infty)}(1)) < 0$が必要である．そこで，(ii)のモデルの$X_{\ell}$を$n$ごとに変え，$X_{\ell}^{(n)}$と表す．ただし，$X^{(n)}_{1}, X^{(n)}_{2}, \ldots$は独立で同一の分布に従うとする．
+
<tr>
−
\begin{eqnarray*}
+
<td><math>\tilde{Y}^{(n)}(t) = X^{(n)}_{1} + X^{(n)}_{2} + \ldots + X^{(n)}_{[nt]}, \qquad \tilde{\mathbf{Y}}^{(n)} = \{\tilde{Y}^{(n)}(t); t \ge 0\}</math>
−
  \tilde{Y}^{(n)}(t) = X^{(n)}_{1} + X^{(n)}_{2} + \ldots + X^{(n)}_{[nt]}, \qquad \tilde{\vc{Y}}^{(n)} = \{\tilde{Y}^{(n)}(t); t \ge 0\}
+
</td>
−
\end{eqnarray*}
+
</tr>
−
とおき，$\vc{Y}^{(n)}$を$Y^{(n)}(t) = c_{n}^{-1} \tilde{Y}^{(n)}(t)$により定義する．$\tilde{\vc{Y}}^{(n)}$が表す$GI/G/1$待ち行列モデルの到着率を$\lambda_{n}$，平均サービス時間の逆数を$\mu_{n}$とおき，$\rho_{n} = \lambda_{n}/\mu_{n}$とする．$\rho_{n} < 1$，$\mu_{n} \to \mu$ $(n \to \infty)$を仮定する．このとき，$c_{n} = n^{H}$とすると
+
</table>
−
\begin{eqnarray*}
+
とおき，<math>\mathbf{Y}^{(n)}</math>を<math>Y^{(n)}(t) = c_{n}^{-1} \tilde{Y}^{(n)}(t)</math>により定義する．<math>\tilde{\mathbf{Y}}^{(n)}</math>が表す<math>GI/G/1</math>待ち行列モデルの到着率を<math>\lambda_{n}</math>，平均サービス時間の逆数を<math>\mu_{n}</math>とおき，<math>\rho_{n} = \lambda_{n}/\mu_{n}</math>とする．<math>\rho_{n} < 1</math>，<math>\mu_{n} \to \mu</math> <math>(n \to \infty)</math>を仮定する．このとき，<math>c_{n} = n^{H}</math>とすると
−
  E(Y^{(n)}(1)) = n^{-H} \Big( \frac n{\mu_{n}} - \frac n{\lambda_{n}} \Big) = \frac {\rho_{n} - 1} {\mu_{n} \rho_{n}} n^{1-H}
+
<table align="center">
−
\end{eqnarray*}
+
<tr>
−
である．$\frac 12 \le H < 1$であるから，$E(Y^{(n)}(1)) \to \eta$とするためには，
+
<td><math>E(Y^{(n)}(1)) = n^{-H} \Big( \frac n{\mu_{n}} - \frac n{\lambda_{n}} \Big) = \frac {\rho_{n} - 1} {\mu_{n} \rho_{n}} n^{1-H}</math>
−
\begin{eqnarray*}
+
</td>
−
  \rho_{n} = (1 - \eta \mu_{n} n^{H-1})^{-1} + o(n^{H-1}), \qquad (n \to \infty)
+
</tr>
−
\end{eqnarray*}
+
</table>
−
となるように$\rho_{n}$を選べばよい．$\eta < 0$より$\rho_{n} \uparrow 1$であるので，この極限近似を重負荷近似と呼ぶ．以後，$\rho_{n} = (1 - \eta \mu_{n} n^{H-1})^{-1}$とする．このとき，$c_{n} = [(-\eta \mu_{n} \rho_{n})/(1-\rho_{n})]^{\frac H{1-H}}$である．
+
である．<math>\frac 12 \le H < 1</math>であるから，<math>E(Y^{(n)}(1)) \to \eta</math>とするためには，
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<table align="center">
 +
<tr>
 +
<td><math>\rho_{n} = (1 - \eta \mu_{n} n^{H-1})^{-1} + o(n^{H-1}), \qquad (n \to \infty)</math>
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</td>
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</tr>
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</table>
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となるように<math>\rho_{n}</math>を選べばよい．<math>\eta < 0</math>より<math>\rho_{n} \uparrow 1</math>であるので，この極限近似を重負荷近似と呼ぶ．以後，<math>\rho_{n} = (1 - \eta \mu_{n} n^{H-1})^{-1}</math>とする．このとき，<math>c_{n} = [(-\eta \mu_{n} \rho_{n})/(1-\rho_{n})]^{\frac H{1-H}}</math>である．
 +
 
 +
この重負荷近似は<math>GI/G/1</math>モデルの漸近近似モデルとして役立つ．例えば，<math>\psi(\tilde{\mathbf{Y}}^{(n)})</math>の時刻<math>t</math>での値を<math>W^{(n)}(t)</math>とすると，<math>X^{(n)}_{\ell}</math>の分布に関する適切な仮定の下で，各<math>t</math>ごとに分布の弱収束
 +
<table align="center">
 +
<tr>
 +
<td><math>\Big( \frac{1-\rho_{n}}{-\eta \mu_{n} \rho_{n}} \Big)^{\frac {H}{1-H}} W^{(n)}(t) \Rightarrow W^{(\infty)}(t), \qquad n \to \infty</math></td>
 +
<td width="100" align="right"><math>(2) \,</math> </td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
が成り立つ．したがって，<math>W^{(n)}(t)</math>を漸近的に<math>\Big( \frac{-\eta \mu_{n} \rho_{n}}{1-\rho_{n}} \Big)^{\frac {H}{1-H}} W^{(\infty)}(t)</math>により表すことができる．ここに，<math>\alpha = 1/H</math>とするとき，<math>W^{(\infty)}(t)</math>は<math>\alpha</math>-安定レヴィー過程である．特に，<math>H = \frac 12</math>のとき，<math>X^{(n)}_{1}</math>の分散を<math>\sigma_{n}^{2}</math>とし, <math>\sigma_{n} \to \sigma</math> <math>(n \to \infty)</math>とすれば，<math>\mathbf{Y}^{(\infty)}</math>はブラウン運動となり，拡散近似となる．このとき，<math>\eta = -1</math>とすると，<math>Y^{(\infty)}(t)</math>は平均が<math>-t</math>分散が<math>\sigma^{2} t</math>の正規分布に従う．
 +
 
 +
 
 +
'''定常分布の近似'''　<math>GI/G/1</math>モデルの拡散近似の場合に，<math>n</math>を固定し<math>t \to \infty</math>としたときの<math>W^{(n)}(t)</math>と<math>W^{(\infty)}(t)</math>の極限分布に従う確率変数を<math>W^{(n)}(\infty)</math>と<math>W^{(\infty)}(\infty)</math>により表す．<math>n \to \infty</math>に対して，<math>\rho_{n} \uparrow 1</math>，<math>\mu_{n} \to \mu</math>，<math>\sigma_{n}^{2} \to \sigma^{2}</math>のとき，
 +
<table align="center">
 +
<tr>
 +
<td><math>\frac{1-\rho_{n}} {\mu_{n} \rho_{n}} W^{(n)}(\infty) \Rightarrow W^{(\infty)}(\infty), \qquad n \to \infty</math>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
が成り立つ．この結果は(2)から直接導かれるように見えるが，極限の交換が必要のため証明は容易ではない．<math>W^{(\infty)}(\infty)</math>は平均が<math>\frac {\sigma^{2}} 2</math>の指数分布に従う（[3]の5.7節参照）ので，平均について，
 +
<table align="center">
 +
<tr>
 +
<td><math>E(W^{(n)}(\infty)) \sim \frac {\sigma^{2} \mu_{n} \rho_{n}}{2(1-\rho_{n})} , \qquad n \to \infty</math>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
という漸近的な式が成り立つ．特に，客の到着がポアッソン過程に従うならば，右辺は<math>M/G/1</math>待ち行列の平均待ち時間と漸近的に一致する．
 +
 
 +
 
 +
'''適用範囲'''　極限モデルの存在は<math>GI/G/1</math>モデルの待ち時間過程に限られるものではない．例えば，待ち時間については，有限待合室モデル，複数窓口モデル，優先権付きモデルのような複数の種類の客がいる場合などに対して，拡散近似モデルが極限モデルとして得られている．ただし，有限待合室の大きさや窓口数を漸近的に大きくする必要がある．待ち時間以外の量としては，連続時間確率過程である系内残余仕事量，待ち人数などについても同様なことが成り立つ．また，流入や流出の率がが確率的に変化する確率的流体モデルやネットワーク待ち行列モデルに対しても極限モデルの存在が確かめられている．最近では，極限モデルが簡単になることを生かして，待ち行列の最適制御への応用についても研究が進んでいる．
 +
 
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'''参考文献'''
  
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この重負荷近似は$GI/G/1$モデルの漸近近似モデルとして役立つ．例えば，$\psi(\tilde{\vc{Y}}^{(n)})$の時刻$t$での値を$W^{(n)}(t)$とすると，$X^{(n)}_{\ell}$の分布に関する適切な仮定の下で，各$t$ごとに分布の弱収束
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[1] P. Billingsley, ''Convergence of Probability Measures'', 2nd edition John Wiley & Sons, 1999.
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\begin{eqnarray}
 
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\label{eqn:K-B-A-11:W}
 
−
  \Big( \frac{1-\rho_{n}}{-\eta \mu_{n} \rho_{n}} \Big)^{\frac {H}{1-H}} W^{(n)}(t) \Rightarrow W^{(\infty)}(t), \qquad n \to \infty
 
−
\end{eqnarray}
 
−
が成り立つ．したがって，$W^{(n)}(t)$を漸近的に$\Big( \frac{-\eta \mu_{n} \rho_{n}}{1-\rho_{n}} \Big)^{\frac {H}{1-H}} W^{(\infty)}(t)$により表すことができる．ここに，$\alpha = 1/H$とするとき，$W^{(\infty)}(t)$は$\alpha$-安定レヴィー過程である．特に，$H = \frac 12$のとき，$X^{(n)}_{1}$の分散を$\sigma_{n}^{2}$とし, $\sigma_{n} \to \sigma$ $(n \to \infty)$とすれば，$\vc{Y}^{(\infty)}$はブラウン運動となり，拡散近似となる．このとき，$\eta = -1$とすると，$Y^{(\infty)}(t)$は平均が$-t$分散が$\sigma^{2} t$の正規分布に従う．\medskip
 
  
−
'''定常分布の近似'''　$GI/G/1$モデルの拡散近似の場合に，$n$を固定し$t \to \infty$としたときの$W^{(n)}(t)$と$W^{(\infty)}(t)$の極限分布に従う確率変数を$W^{(n)}(\infty)$と$W^{(\infty)}(\infty)$により表す．$n \to \infty$に対して，$\rho_{n} \uparrow 1$，$\mu_{n} \to \mu$，$\sigma_{n}^{2} \to \sigma^{2}$のとき，
+
[2] W. Feller, ''An Introduction of Probability Theory and Its Applications'', 2nd edition, John Wiley & Sons, 1971.
−
\begin{eqnarray*}
 
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  \frac{1-\rho_{n}} {\mu_{n} \rho_{n}} W^{(n)}(\infty) \Rightarrow W^{(\infty)}(\infty), \qquad n \to \infty
 
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\end{eqnarray*}
 
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が成り立つ．この結果は\eqn{K-B-A-11:W}から直接導かれるように見えるが，極限の交換が必要のため証明は容易ではない．$W^{(\infty)}(\infty)$は平均が$\frac {\sigma^{2}} 2$の指数分布に従う（\cite{A11+Whitt}の5.7節参照）ので，平均について，
 
−
\begin{eqnarray*}
 
−
  E(W^{(n)}(\infty)) \sim \frac {\sigma^{2} \mu_{n} \rho_{n}}{2(1-\rho_{n})} , \qquad n \to \infty
 
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\end{eqnarray*}
 
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という漸近的な式が成り立つ．特に，客の到着がポアッソン過程に従うならば，右辺は$M/G/1$待ち行列の平均待ち時間と漸近的に一致する．\medskip
 
  
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'''適用範囲'''　極限モデルの存在は$GI/G/1$モデルの待ち時間過程に限られるものではない．例えば，待ち時間については，有限待合室モデル，複数窓口モデル，優先権付きモデルのような複数の種類の客がいる場合などに対して，拡散近似モデルが極限モデルとして得られている．ただし，有限待合室の大きさや窓口数を漸近的に大きくする必要がある．待ち時間以外の量としては，連続時間確率過程である系内残余仕事量，待ち人数などについても同様なことが成り立つ．また，流入や流出の率がが確率的に変化する確率的流体モデルやネットワーク待ち行列モデルに対しても極限モデルの存在が確かめられている．最近では，極限モデルが簡単になることを生かして，待ち行列の最適制御への応用についても研究が進んでいる．
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[3] W. Whitt, ''Stochastic-Process Limits An Introduction to Stochastic-Process Limits and Their Applications to Queues'', Springer, 2001.
  
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\begin{thebibliography}{99}
 
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%-------------------------- 英語単行本 ---------------------------------
 
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\bibitem{A11+Billingsley}
 
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  P. Billingsley,      % and の前に「,」は入れない
 
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  {\it Convergence of Probability Measures}, 2nd edition
 
−
  John Wiley \& Sons, 1999.                            % 本の題は斜体
 
−
%-------------------------- 英語単行本 ---------------------------------
 
−
\bibitem{A11+Feller}
 
−
  W. Feller,      % and の前に「,」は入れない
 
−
  {\it An Introduction of Probability Theory and Its Applications},
 
−
  2nd edition, John Wiley \& Sons, 1971.                            % 本の題は斜体
 
−
%-------------------------- 英語単行本 ---------------------------------
 
−
\bibitem{A11+Whitt}
 
−
  W. Whitt,      % and の前に「,」は入れない
 
−
  {\it Stochastic-Process Limits An Introduction to Stochastic-Process Limits and Their Applications to Queues},
 
−
  Springer, 2001.                            % 本の題は斜体
 
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\end{thebibliography}
 
  
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\end{document}
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[[category:待ち行列|まちぎょうれつのきょくげんもでる]]

2007年8月9日 (木) 19:32時点における最新版

【まちぎょうれつのきょくげんもでる（りゅうたいきんじとじゅうふかきんじ）(limiting models for queues (fluid and heavy traffic approximation))】

待ち行列モデルにおいては，窓口が１つの場合にポアソン到着やサービス時間が指数分布に従うことを仮定すると待ち時間や待ち人数の定常分布やそのモーメントを比較的簡単な式で表すことができる．しかし，このような解析的結果が得られるモデルは限られ，一般的なモデルについて，性能評価量を簡単な式で表すことは困難である．これに対して，数値的な評価は位相型モデルを使うことにより広い範囲で可能である．しかし，数値的結果は個別的であり，モデルの特性を大まかにつかむマクロ的な視点からは不十分である.


極限モデル　モデルをマクロ的な視点から分類し特性を調べるために，時間と空間の尺度変換（スケール変換）を行ったモデルの列の極限を使う方法がある．この極限モデルの特性が解明できるならば，広い範囲のモデルの特性について役立つ情報が得られる．例えば，実数値を取る確率過程の時間を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} 倍し，状態を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tfrac{1}{n}} 倍すると確定的な極限過程になり，状態を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tfrac 1{\sqrt{n}}} 倍するとブラウン運動となる場合が多い．より一般的に，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H > 0} に対して状態を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n^{-H}} 倍することもある．この方法は，モデルの近似と考えることもできるが，数学的に精密に極限を求めるため直感的な近似モデルとは異なる．

このような尺度変換により現れる各種の極限モデルを窓口が１つで待合室に入る客数に制限がない先着順モデルついて述べる．システムは初め空であり，時刻構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0} から稼働を始める．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \ell=1,2,\ldots} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \ell} 番目の客が時刻構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t_{\ell}} に到着し，そのサービス時間を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S_{\ell}} ，サービスを受けるまでの待ち時間を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W_{\ell}} とする．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{\ell} = S_{\ell} - (t_{\ell+1} - t_{\ell})} とおくと，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W_{\ell+1} = \max( W_{\ell} + X_{\ell} , 0), \qquad \ell =1,2,\ldots,}

が成り立つ．ここに，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W_{1} = 0} とする．次に，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y_{\ell} = X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{\ell}, \qquad \ell =1,2,\ldots,}

とおく．上記の関係式より，待ち時間の列構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W_{1}, W_{2}, \ldots, W_{\ell+1}} は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{\ell}} を使って表すことができる．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y_{\ell}} は最初の構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \ell} 人の客のサービス時間の和からサービスに使うことが可能な時間を差し引いたものであり，累積入出力過程と呼ぶ．

尺度変換を行うためには連続時間のほうが都合がよい．そこで，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t} が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \ell \le t < \ell+1} ならば構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W(t) = W_{\ell}} とおくことにより，連続変数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t} の関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W(t)} を定義する．同様に，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y_{\ell}} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y(t)} を定義する．このとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{W} = \{W(t); t \ge 0\}} ，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y} = \{Y(t); t \ge 0\}} とし，半直線構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle [0,\infty)} 上の右連続で左極限をもつ関数の集合を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle D} により表すと，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle D} から構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle D} への関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \psi} を使って構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{W}= \psi(\mathbf{Y})} と表すことができる（詳しくは [1] 参照）．

このモデルは構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}} により決まる．そこで，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n = 1,2, \ldots} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(n)}} により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} 番目のモデルを表す．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \psi} は関数空間構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle D} に適切に与えた距離の下で連続であり，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n \to \infty} のとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(n)} \Rightarrow \mathbf{Y}^{(\infty)}} ならば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \psi(\mathbf{Y}^{(n)}) \Rightarrow \psi(\mathbf{Y}^{(\infty)})} が成り立つ．ここに，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Rightarrow} は分布の弱収束することを表す．これを連続写像定理と呼ぶ．例えば，各構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t \ge 0} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} 番目のモデルの構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(n)}(t)} の分布は，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n \to \infty} のとき極限モデルの構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(\infty)}(t)} の分布に弱収束する．このようにして，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} を累積入出力過程とする極限モデルが得られる．


自己相似過程への収束　具体的に極限モデルを得るために，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}} の時間を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} 倍し，平均を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{n}} により調整し，大きさを構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n}} 倍縮小した尺度変換

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y^{(n)}(t) = c_{n}^{-1} (Y_{[n t]} - d_{n} n t)} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (1) \,}

により構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(n)}} の各要素構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y^{(n)}(t)} を定義する．ここに，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle [a]} は実数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a} を超えない最大の整数とする．このとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(n)}} の分布が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} の分布へ弱収束するならば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} は自己相似過程 (self similar process)となる．そのハースト定数 (Hurst parameter)を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H > 0} とするならば，任意の定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda>0} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to \infty} {L(\lambda x)}/{L(x)} = 1} を満たす関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L(x)} を使い，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n} = n^{H} L(n)} と表すことができる（[3]の4.2節参照）．


安定レヴィー過程　確率変数列構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{1}, X_{2}, \ldots} は独立で同一の分布構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F} に従うとする．このとき，(1)で定義した構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y^{(n)}(t)} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \{Y^{(n)}(t); t \ge 0\} \Rightarrow \{Y^{(\infty)}(t); t \ge 0 \}} となる確定的ではない極限過程構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)} \equiv \{Y^{(\infty)}(t)\}} が存在するならば，この極限過程は自己相似である．そのハースト定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H} に対し，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha = \frac 1H} とすると，は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha} - 安定分布 (stable distribution)をもつ．この極限過程構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha} -安定レヴィー過程（Levy過程）と呼ぶ．この極限過程は，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{n} } の平均が有限ならば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 < \alpha \le 2} であり，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{n}} の平均が存在しないならば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0 < \alpha \le 1} となる．例えば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha = 2} ならば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} はブラウン運動に等しく，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0 < \alpha < 2} ならば，確定的変化を除くと分散が無限大で離散的な時刻でのみ変化する標本関数をもつ（[3]の4.2節参照）．


極限過程の分類　構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{1}, X_{2}, \ldots} が独立で同一の分布に従い，各構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{n}} は有限な平均構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m_{X}} をもつと仮定する．このとき，(1)において構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n} = n^{H}, d_{n} = m_{X} n} とし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(n)}} を定義する．極限過程構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} が存在するならば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha = \frac 1H} とすると，自己相似過程と安定分布の結果から次のことが成り立つ．

(i) 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H=1} ならば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} は確定的な過程である．
(ii) 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H \ne 1} ならば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac 12 \le H < 1} であり，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha} - 安定レヴィー過程である．

(i)の場合を流体近似，(ii)で構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H = \frac 12} の場合を拡散近似と呼ぶ．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac 12 < H < 1} の場合には，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} は増分が無限大の分散をもち，標本関数は離散的に変化する． 流体近似では極限過程が確定的であり，ランダムな要因の評価ができない．しかし，確率的な評価が難しい過渡的な現象を調べるために役立つ．これに対して，ブラウン運動は解析的に魅力あるモデルであり，拡散近似はランダムな要因を量る近似モデルとして広く使われている．また，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac 12 < H < 1} の場合は解析的に扱いにくいが，サービス時間分布の裾が重い場合の近似モデルとして有効である．なお，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{1}, X_{2}, \ldots} が独立でない場合には，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0 < H < \frac 12} の場合も起こりえる．例えば，フラクタルブラウン運動では，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0 < H < 1} であり，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H} が大きいほど強い相関を表す．


重負荷近似　 (ii)の極限過程は，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y^{(n)}(t) = c_{n}^{-1} (Y_{[n t]} - d_{n} n t)} の定義から構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y^{(n)}(t)} の平均が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0} のため，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \psi(\mathbf{Y}^{(\infty)})} は定常分布をもたず，近似モデルとして使えない．定常分布が存在するためには構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \eta \equiv E(Y^{(\infty)}(1)) < 0} が必要である．そこで，(ii)のモデルの構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{\ell}} を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} ごとに変え，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{\ell}^{(n)}} と表す．ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X^{(n)}_{1}, X^{(n)}_{2}, \ldots} は独立で同一の分布に従うとする．

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tilde{Y}^{(n)}(t) = X^{(n)}_{1} + X^{(n)}_{2} + \ldots + X^{(n)}_{[nt]}, \qquad \tilde{\mathbf{Y}}^{(n)} = \{\tilde{Y}^{(n)}(t); t \ge 0\}}

とおき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(n)}} を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y^{(n)}(t) = c_{n}^{-1} \tilde{Y}^{(n)}(t)} により定義する．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tilde{\mathbf{Y}}^{(n)}} が表す構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle GI/G/1} 待ち行列モデルの到着率を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda_{n}} ，平均サービス時間の逆数を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mu_{n}} とおき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho_{n} = \lambda_{n}/\mu_{n}} とする．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho_{n} < 1} ，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mu_{n} \to \mu} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (n \to \infty)} を仮定する．このとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n} = n^{H}} とすると

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle E(Y^{(n)}(1)) = n^{-H} \Big( \frac n{\mu_{n}} - \frac n{\lambda_{n}} \Big) = \frac {\rho_{n} - 1} {\mu_{n} \rho_{n}} n^{1-H}}

である．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac 12 \le H < 1} であるから，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle E(Y^{(n)}(1)) \to \eta} とするためには，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho_{n} = (1 - \eta \mu_{n} n^{H-1})^{-1} + o(n^{H-1}), \qquad (n \to \infty)}

となるように構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho_{n}} を選べばよい．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \eta < 0} より構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho_{n} \uparrow 1} であるので，この極限近似を重負荷近似と呼ぶ．以後，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho_{n} = (1 - \eta \mu_{n} n^{H-1})^{-1}} とする．このとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n} = [(-\eta \mu_{n} \rho_{n})/(1-\rho_{n})]^{\frac H{1-H}}} である．

この重負荷近似は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle GI/G/1} モデルの漸近近似モデルとして役立つ．例えば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \psi(\tilde{\mathbf{Y}}^{(n)})} の時刻構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t} での値を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(n)}(t)} とすると，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X^{(n)}_{\ell}} の分布に関する適切な仮定の下で，各構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t} ごとに分布の弱収束

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Big( \frac{1-\rho_{n}}{-\eta \mu_{n} \rho_{n}} \Big)^{\frac {H}{1-H}} W^{(n)}(t) \Rightarrow W^{(\infty)}(t), \qquad n \to \infty} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (2) \,}

が成り立つ．したがって，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(n)}(t)} を漸近的に構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Big( \frac{-\eta \mu_{n} \rho_{n}}{1-\rho_{n}} \Big)^{\frac {H}{1-H}} W^{(\infty)}(t)} により表すことができる．ここに，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha = 1/H} とするとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(\infty)}(t)} は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha} -安定レヴィー過程である．特に，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle H = \frac 12} のとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X^{(n)}_{1}} の分散を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma_{n}^{2}} とし, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma_{n} \to \sigma} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (n \to \infty)} とすれば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{Y}^{(\infty)}} はブラウン運動となり，拡散近似となる．このとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \eta = -1} とすると，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y^{(\infty)}(t)} は平均が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -t} 分散がの正規分布に従う．


定常分布の近似　構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle GI/G/1} モデルの拡散近似の場合に，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} を固定し構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t \to \infty} としたときの構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(n)}(t)} と構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(\infty)}(t)} の極限分布に従う確率変数を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(n)}(\infty)} と構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(\infty)}(\infty)} により表す．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n \to \infty} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho_{n} \uparrow 1} ，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mu_{n} \to \mu} ，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma_{n}^{2} \to \sigma^{2}} のとき，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1-\rho_{n}} {\mu_{n} \rho_{n}} W^{(n)}(\infty) \Rightarrow W^{(\infty)}(\infty), \qquad n \to \infty}

が成り立つ．この結果は(2)から直接導かれるように見えるが，極限の交換が必要のため証明は容易ではない．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W^{(\infty)}(\infty)} は平均が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac {\sigma^{2}} 2} の指数分布に従う（[3]の5.7節参照）ので，平均について，

という漸近的な式が成り立つ．特に，客の到着がポアッソン過程に従うならば，右辺は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle M/G/1} 待ち行列の平均待ち時間と漸近的に一致する．


適用範囲　極限モデルの存在は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle GI/G/1} モデルの待ち時間過程に限られるものではない．例えば，待ち時間については，有限待合室モデル，複数窓口モデル，優先権付きモデルのような複数の種類の客がいる場合などに対して，拡散近似モデルが極限モデルとして得られている．ただし，有限待合室の大きさや窓口数を漸近的に大きくする必要がある．待ち時間以外の量としては，連続時間確率過程である系内残余仕事量，待ち人数などについても同様なことが成り立つ．また，流入や流出の率がが確率的に変化する確率的流体モデルやネットワーク待ち行列モデルに対しても極限モデルの存在が確かめられている．最近では，極限モデルが簡単になることを生かして，待ち行列の最適制御への応用についても研究が進んでいる．

参考文献

[1] P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, 2nd edition John Wiley & Sons, 1999.

[2] W. Feller, An Introduction of Probability Theory and Its Applications, 2nd edition, John Wiley & Sons, 1971.

[3] W. Whitt, Stochastic-Process Limits An Introduction to Stochastic-Process Limits and Their Applications to Queues, Springer, 2001.

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