分布の弱収束

【ぶんぷのじゃくしゅうそく (weak convergence of distribution) 】

　$(S,{\mathcal {B}}(S))$を$S$を距離空間とするボレル可測空間とする．この可測空間上の確率分布の列$\mu _{1},\mu _{2},\ldots$と確率分布$\nu$が，$(S,{\mathcal {B}}(S))$上の任意の有界な実数値連続関数$f$に対して，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{S} f(x) \mu_{n}(dx) = \int_{S} f(x) \nu(dx)}

を満たすとき，$n\to \infty$に対して$\mu _{n}$は$\nu$へ弱収束するという．これは$\mathbf {X} _{n}$を確率分布$\mu _{n}$に従うランダムな変量，$\mathbf {Y}$を確率分布$\nu$に従うランダムな変量とするとき，$(S,{\mathcal {B}}(S))$上の任意の有界な実数値連続関数$f$に対して

$\lim _{n\to \infty }E(f(\mathbf {X} _{n}))=E(f(\mathbf {Y} ))$

が成り立つことに等しい．特に，構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S=(-\infty ,+\infty )} ならば，$\mu _{n}$の分布関数$F_{n}(x)$が$\nu$の分布関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle G(x)} に構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle G} のすべての連続点構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x} で収束することに等しい．