【きかぶらうんうんどう (geometric Brownian motion)】
S t {\displaystyle S_{t}\,} が次の確率微分方程式
d S t = μ S t d t + σ S t d B t {\displaystyle \mathbf {d} S_{t}=\mu S_{t}\mathbf {d} t+\sigma S_{t}\mathbf {d} B_{t}\,}
を満たすとき, S t {\displaystyle S_{t}\,} は幾何ブラウン運動にしたがうという. ただし B t {\displaystyle B_{t}\,} は標準ブラウン運動, μ {\displaystyle \mu \,} , σ {\displaystyle \sigma \,} は,ある一定の係数とする. S t {\displaystyle S_{t}\,} の解過程は,時点 0 {\displaystyle 0\,} での初期値 S 0 {\displaystyle S_{0}\,} を使って,
S t = S 0 exp { ( μ − ( 1 / 2 ) σ 2 ) t + σ B t } {\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp\{(\mu -(1/2)\sigma ^{2})t+\sigma B_{t}\}\,}
で与えられる.危険資産価格のモデルとしてよく使われる.
が次の確率微分方程式
は幾何ブラウン運動にしたがうという. ただし
は標準ブラウン運動, 
,
は,ある一定の係数とする. の解過程は,時点
での初期値
を使って,
