安定分布

【 あんていぶんぷ (stable distribution) 】

確率変数列$X_{1},X_{2},\cdots$は独立で同一の分布$F$に従うとする．このとき，任意の$n$に対して，ある数$a_{n},b_{n}$があり，

$X_{1}+\cdots +X_{n}\cong a_{n}X_{1}+b_{n}$

ならば，$F$は安定（stable）であるという．ここに，$\cong$は分布が等しいことを表す．$F$が安定ならば，$0<\alpha \leq 2$を満たすある$\alpha$に対して，$a_{n}=n^{\frac {1}{\alpha }}$が成り立つ．このとき，$F$は$\alpha -$安定であるという．例えば，正規分布は$\alpha =2$の安定分布であり，コーシー分布（Cauchy distribution）は$\alpha =1$の安定分布である．ここに，コーシー分布とは密度関数

$f(x)={\frac {a}{\pi ((x-b)^{2}+a^{2})}},\qquad -\infty <x<\infty$

をもつ分布である．ここに，$a$は正の定数，$b$は実数の定数である．