【れつこうばい (subgradient)】
真凸関数 f : R n → ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle f:{\mathbf {R} }^{n}\to (-\infty ,+\infty )\,} に対して, 次式を満足するベクトル ξ ∈ R n {\displaystyle \xi \in {\mathbf {R} }^{n}\,} を f {\displaystyle f\,} の x {\displaystyle x\,} における劣勾配といい, 劣勾配全体の集合を ∂ f ( x ) {\displaystyle \partial f(x)\,} と表す.
f ( y ) ≥ f ( x ) + ξ ⊤ ( y − x ) ∀ y ∈ R n {\displaystyle f(y)\geq f(x)+\xi ^{\top }(y-x)\quad \quad \forall \,y\in {\mathbf {R} }^{n}}
真凸関数はその実効定義域 dom f := { x | f ( x ) < ∞ } {\displaystyle {\mbox{dom}}\,f:=\{x\,|\,f(x)<\infty \}\,} の任意の相対的内点において, 少なくとも1つの劣勾配をもつ. 特に, 凸関数 f {\displaystyle f\,} が点 x {\displaystyle x\,} において微分可能ならば, f {\displaystyle f\,} の x {\displaystyle x\,} における劣勾配は唯一存在し, 通常の勾配 ∇ f ( x ) {\displaystyle \nabla f(x)\,} に等しい.
に対して, 次式を満足するベクトル 
を 
の 
における劣勾配といい, 劣勾配全体の集合を 
と表す.
の任意の相対的内点において, 少なくとも1つの劣勾配をもつ. 特に, 凸関数 が点 において微分可能ならば, の における劣勾配は唯一存在し, 通常の勾配 
に等しい.