《大規模AHP》

【だいきぼAHP (large scale AHP) 】

　大規模AHP (Large scale AHP)[1]とは, 複数の評価者を想定したAHPのモデルである. 通常のAHPとの違いは, 多数の代替案, 複数の評価者および欠落データを許している点である. つまり, 各評価者は多数の代替案に対し一対比較するのではなく, 相対評価できる代替案のみ一対比較するものである. AHPでは一人の評価者が全一対比較するため, 評価項目（代替案）の数を$n\,$とすると, 一対比較の回数は$n(n-1)/2\,$回となり, 評価項目（代替案）の数が増加すると, 一対比較の回数が爆発的に増加する. 例えば, 評価項目が1階層で, 5個の評価項目の場合, $5\times (5-1)/2=10\,$回の一対比較を行う. さらに, 代替案が10個ある場合各評価項目に対し$10\times (10-1)/2=45\,$回の一対比較を行う必要がある. 合計すると, 235回の一対比較する必要がある. これは, かなり困難な作業である. 大規模AHPは, 複数の評価者が評価を行うことと欠落データを許すことにより, 1人の評価者が行う一対比較する作業を軽減することができる.

　AHPの重要度ベクトルの導出法には, 固有ベクトル法と幾何平均法(対数最小２乗法）があるが, 対数最小二乗法の考えを大規模な問題に適用した手法が大規模AHPである. AHPでは, 一人の評価者が同一階層の評価項目（代替案）間を全一対比較する必要がある. しかし, 評価項目（代替案）の項目数$n\,$が多くなるにつれて, 莫大な労力と時間が必要となる. そこで大規模AHPでは次のような評価方法を提案している.

「各評価者が相対評価できる評価項目（代替案）間のみに一対比較を行い, 一対比較による相対評価を行わない評価項目（代替案）間を許す. 相対評価された評価項目（代替案）間には一対比較値を割り当てる. 」

　大規模AHPでは, 一対比較ネットワークという考えを導入する. 一対比較ネットワークは, 次のように与える. 評価者は$L\,$人とし, このとき第$l\,$評価者が一対比較した評価項目（代替案）対の集合を,

$K_{l}=\{(i,j)|\,$代替案$i,j(1\leq i<j\leq n)\,$は第$l\,$評価者によって一対比較された. $\}\,$

とする. 第$l\,$評価者が評価項目（代替案）$i\,$に対して, 評価項目(代替案)$j\,$を一対比較した場合, その一対比較値を$a_{ij}^{l}\,$とする. いずれかの評価者によって一対比較された評価項目（代替案）対の集合$K\,$は, $K=\cup _{l=1}^{L}K_{l}\,$であり, また, いずれの評価者からも一対比較されなかった評価項目（代替案）対の集合${\bar {K}}\,$は,

${\bar {K}}=\{(i,j)|1\leq i<j\leq n\}\backslash K\,$

である. ${\bar {K}}\neq \phi \,$であれば, 一対比較されなかった評価項目（代替案）の組が存在し, 逆も成り立つ. 大規模AHPでは各評価者が一対比較しない評価項目（代替案）間の存在も許すので, ${\bar {K}}\neq \phi \,$となる場合もありえる. ここで, ノードの集合を$V=\{1,\ldots ,n\}\,$, エッジの集合を$E\,$としたグラフ$G=(V,E)\,$を一対比較ネットワークと定義する.

　第$l_{1}\,$評価者と第$l_{2}(\neq l_{1})\,$評価者が重複して評価項目（代替案）$i,j(i<j)\,$を一対比較したならば, ネットワーク$G\,$で点$i\,$と点$j\,$を結ぶエッジは2本以上存在する. 従って一対比較ネットワーク$G\,$のエッジの数は, $\textstyle |E|=\sum _{l=1}^{L}|K_{l}|\geq |K|\,$である. $|K|<|E|\,$であれば, ある評価項目（代替案）の組に対して重複評価が存在し, 逆も成り立つ. 一対比較ネットワーク$G\,$において, 任意のノードは全てのノードと直接または間接的に連結されている必要がある.

　一対比較ネットワーク$G\,$において, エッジでノードが結ばれている関係を示す行列を, 接続行列(Connection Matrix)として$C\in R^{n\times |E|}\,$, 接続行列の列に割り当てられたエッジのならびに沿って, 各評価者の一対比較値を対数変換した値${\tilde {a}}_{ij}^{l}\,$を並べたベクトルを, カットベクトル(Cut Vector)として${\boldsymbol {p}}\,$とする.

　大規模AHPでのウェイトベクトルの導出は, 誤差モデルを用いて, ウェイトベクトル${\boldsymbol {w}}\,$をを対数変換した${\tilde {\boldsymbol {w}}}\,$推定することにより求められる. すなわち,

$\min \|C^{\top }{\tilde {\boldsymbol {w}}}-{\boldsymbol {p}}\|^{2}=\min \sum _{l=1}^{L}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}({\tilde {\boldsymbol {w}}}_{i}-{\tilde {\boldsymbol {w}}}_{j}-{\tilde {a}}_{ij}^{l})^{2}\,$

を満足する${\boldsymbol {w}}\,$を求める. いま$\|\cdot \|\,$を$L_{2}\,$ノルム(ユークリッドノルム)$\|\cdot \|_{2}\,$とすると, ${\tilde {\boldsymbol {w}}}\,$は正規方程式の解として, 以下のように与えられる.

$CC^{\top }{\tilde {\boldsymbol {w}}}=C{\boldsymbol {p}}\,$

しかし, 接続行列$C\,$のランクは$r(C)=n-1\,$であり, ${\tilde {\boldsymbol {w}}}\,$の解は一意に決定されない. そこで一般化逆行列を用いて,

${\tilde {\boldsymbol {w}}}=(CC^{\top }+{\boldsymbol {e}}{\boldsymbol {e}}^{\top })^{-1}C{\boldsymbol {p}}+{\frac {\tilde {\alpha }}{n}}{\boldsymbol {e}}\,$

で与えられる. このとき${\boldsymbol {e}}\,$は全ての要素が$1\,$のベクトル, $\alpha \,$は${\tilde {\boldsymbol {w}}}\,$を対数逆変換した${\boldsymbol {w}}\,$の総和が1となるような実数である.

---

参考文献

[1] 八卷直一, 関谷和之, 「複数の評価者を想定した大規模なAHPの提案と人事評価への適用」, 『日本オペレーションズリサーチ学会論文誌』, 1999, 405-420.