《寿命分布》

【じゅみょうぶんぷ (lifetime distribution) 】

　信頼性モデルで用いられている代表的な3つの寿命分布 [1, 2, 3] について述べよう.

(i)　指数分布 (exponential distribution)

$F(t)=1-{\rm {e}}^{-\lambda t}\ \ \ \ \ (t\geq 0,~\lambda >0)\,$

$r(t)=\lambda \,$

故障率が一定となるのは指数分布の場合のみである. 故障率が一定であることは故障しやすさが時間的に変化しないということであるから, 無記憶性と同じ意味である. 当然, 偶発故障であることと指数分布は同義である.

(ii)　ガンマ分布 (gamma distribution)

$f(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{n-1}{\rm {e}}^{-\lambda t}}{\Gamma (n)}}\ \ \ \ \ (t\geq 0,\ \lambda >0,\ n>0)\,$

ただし, $\Gamma (n)\,$は次数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n\, } のガンマ関数である. 特に, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n\, } が自然数(正整数)ならば, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(n) = (n-1)!\, } ~となり, 分布関数は

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(t)=1-\sum_{i=0}^{n-1}{(\lambda t)^i\over i!}{\rm e}^{-\lambda t} \, }

となる. もちろん, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n=1\, } のときは指数分布である. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n\ge1\, } ならば, ガンマ分布はIFRとなり, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0<n\le1\, } ならばDFRとなる.

(iii)　ワイブル分布 (Weibull distribution)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(t) = 1 - {\rm e}^{-\lambda t^m} \ \ \ \ \ (t\ge0,~ \lambda > 0,~ m > 0) \, }

$r(t)=\lambda mt^{m-1}\,$

　構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda\, } は尺度パラメータ, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m\, } は形状パラメータとよばれる. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m\ge1\, } ならば, ワイブル分布はIFRとなり, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0<m\le1\, } ならばDFRとなる. 特に構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m=1\, } のときは指数分布である. ワイブル分布は寿命時間分布としてより用いられる. その理由はパラメータが2つあり, いろいろな故障データに適合することである. 一方

$\log _{\rm {e}}\log _{\rm {e}}{\frac {1}{R(t)}}=m\log _{\rm {e}}t+\log _{\rm {e}}\lambda \,$

となるから, 縦軸に構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \log_{\rm e} \log_{\rm e}[1/R(t)]\, } の関数目盛で構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(t)\, } の値を, 横軸に$\log _{\rm {e}}t\,$の関数目盛で構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t\, } の値をとれば, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t\, } と構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(t)\, } の関係は直線で示される. 故障データを関数方眼紙にプロットして回帰直線を引けば, パラメータの点推定, 区間推定, 信頼度などを求めることができる. この関数方眼紙はワイブル確率紙(Weibull probability paper)とよばれ, 市販されている. ワイブル確率紙は寿命分布がワイブル分布にしたがうかどうかの判定や, もししたがう場合にはパラメータの推定, 信頼度の推定などを求める簡便法として実用に供されている.

　一般に, ほとんどのアイテムはDFRの初期故障期 (幼児期) , CFRの偶発故障期 (青壮年期) を経て, IFRの摩耗故障期 (老人期) になる. 人間の寿命についてもこのような変化をたどる. この故障率の変化は洋式の浴槽に似ているので浴槽曲線(bathtub curve)とよばれる. 保険数理においては構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle r(t)\, } は死力(force of motality)とよばれ, 保険, 年金の保険料, 掛金の算出根拠に用いられている.

　さて, アイテムの寿命分布を 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(t)\, } とすれば, その平均はMTTF (mean time to failure)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle MTTF = \int_0^\infty t f(t) {\rm d}t = \int_0^\infty R(t) {\rm d}t \, }

となる. 代表的な寿命分布として前出の指数分布, あるいはガンマ分布, ワイブル分布などが代表的である. 一般的に, ロケットのように故障まで使うシステムは非修理系システムとよばれる. それに対して, アイテムは動作・故障そして修理を繰り返す場合は修理系システムとよばれる. 修理系システムにおいては MTTF は MTBF (mean time between failures) とよぶ.

　修理系システムにおいては, アイテムの寿命時間分布 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(t)\, } および修理時間 (repair time) 分布 $G(t)\,$ を導入する. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle G(t)\, } の平均は MTTR (mean time to repair) とよばれる. そのとき, 定常アベイラビリティは

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A = \frac{MTBF}{MTBF + MTTR} \, }

となる. 定常アベイラビリティはアイテムが動作している平均時間の割合である. 一方, 瞬時アベイラビリティ $A(t)\,$ は時刻 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t\, } でアイテムが動作している確率を表し,

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A = \lim_{t \to \infty} A(t) \, }

となることも知られている.

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参考文献

[1] R. E. Barlow and F. Proschan, Mathematical Theory of Reliability SIAM, Philadelphia, PA, 1996.

[2] R. E. Barlow and F. Proschan, Statistical Theory of Reliability and Life Testing, To Begin With, c/o Gordon Pledger, 1142 Hornell Drive, Silver Spring, MD 20904, 1981.

[3] 尾崎俊治, 『品質管理・信頼性のための統計分布ハンドブック』, 日本規格協会, 1994.