《議員定数配分問題》

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【ぎいんていすうはいぶんもんだい (apportionment problem】

　各選挙区の人口(あるいは有権者数)とそれらのすべての選挙区に割り当てられる総議席数すなわち総議員定数が与えられているとき, 総議員定数を各選挙区にそれらの人口分布に基いて``できるだけ公平"に配分する方法を求めるのが議員定数配分問題である. 議員定数配分問題は社会的にも非常に重要な問題であるが, 欧米においてかなり古くから数学者をはじめとする多くの研究者によって詳細な検討を加えられている(Balinski-Young['82],Lucas['83]など参照). 議員定数配分問題は数学的, 数理的な厳密な意味では未だ未解決の非常に難しい問題であるが, 現在においても学問的に, そして実際に各選挙区に議員定数を配分するという政治の場においても活発な議論がなされている. 議員定数配分問題を数理的に考察するとき, 上述のような"公平性"の基準をどのように定めればよいかという問題, そしてその基準を達成する定数配分方法はどのようなものかという2つの問題が中心課題となる.

　対象とする選挙区の集合構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle N=\{1,2, \ldots,n \}\, } に対して, 各選挙区の人口が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle p_{i}\, } (人), そして総議員定数が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle K\, } (人)と与えられている. このとき選挙区構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i\, } に割り当てられる議員定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle q_{i}\, } は, 理論的かつ理想的には


構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle q_{i} = \frac{p_{i}K}{ \sum_{i \in N }p_{i}}\, } 　　　　　構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (1) \,}


となる. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle q_{i}\, } を選挙区構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i\, } の理想議員定数と呼ぶ. 各選挙区構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i\, } の現実の議員定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{i}\, } はすべてそれ自身正整数(0もあり得る)であって, かつ総議員定数が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle K\, } (正整数)でなければならない. すなわち構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{i}\, } は以下の条件を満たす.


構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sum_{i \in N }d_{i} = K\, } 　　　　　


構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{i} > 0, \, } 整数, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i \in N=\{1,2, \ldots,n \}\, } 　　　　　構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (3) \,}


　理想議員定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle q_{i}\, } がすべて整数ならば, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{i} = q_{i}\, } とすることによって議員定数配分問題は解決するが, 一般には構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle q_{i}\, } は整数とはならず, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{i}\, } を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle q_{i}\, } に一致させることはできない. われわれの議員定数配分問題は, 制約条件(2),(3)を満たすような構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{i}\, } の中でそれぞれの選挙区構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i \in N\, } の議員定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{i}\, } が"理想議員定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle q_{i}\, } にできるだけ近くなるようなもの"を求めることになる. したがって決定すべき議員定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d_{i}\, } が"理想議員定数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle q_{i}\, } にできるだけ近く", すなわち"公平"の基準を明確にすることが必要とされる. しかしながら, 議員定数配分問題は"公平"の基準が明確にされたとしても容易に解決される問題ではない. "公平"の基準は非常に数多く存在し, しかもそれらが異なる議員定数配分を与え, いずれの方法がより望ましいかを結論づけられないのが現状である.

　議員定数配分方法は, 剰余数に基づくものと除数に基づくものとの大きく2種類に分けることができる. 前者については, 剰余数の大きい選挙区から順に理想議員定数の切り上げを行うという最大剰余数法が代表的である. 除数に基づくものは一般に除数法と呼ばれ, 議員1人が何人の人口を"代表"すべきかを設定し, それに基いて各選挙区の議員定数を決定するというのが基本的な考え方である.

　除数法の一般的な計算手順では除数関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle v(d), d \leq v(d) \leq d+1\, } , を与え, 人口pを除数関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle v(d)\, } で除して得られる階数関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle r(p,d)\, } を次のように定める.


構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle r(p,d) = \frac{p}{v(d)}\, } 　　　　　構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (4) \,}


総議員定数が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k\, } のときの選挙区構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i\, } の配分議員定数を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle d(k,i)\, } と表すと, 階数関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle r(p,d)\, } の値が最も大きい選挙区に次々に定数を配分するという操作を繰り返す. したがって除数法では, 除数関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle v(d)\, } の与え方によっていろいろな配分方法を作ることができる. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle v(d)=d, d+1/2, d+1\, } はそれぞれ最小除数法, 過半小数法(ウェブスター法とも呼ばれる), そして最大除数法(ドント法とも呼ばれる)に対応する.

　議員定数配分問題は数学的にも興味ある問題であるが, 現在に至るまで過去200年以上もの間実際の米国各州の下院議員定数を定める問題として多くの研究者, 法律家, 議員等によって詳細な検討が加えられ, 種々の提案がなされている. ある時期に採択されていた配分方法が, 後に何らかの"欠点"が発見され改訂が行われるということがこれまで数多く繰り返されている. たとえば最大剰余数法はアラバマパラドックスという欠陥が発見されて採用されなくなり, また不偏性あるいは整合性といった公平性基準, すなわち議員定数配分方法の有すべき特性側面からの評価も重要となる. 最近ではすべての"望ましい"性質を持つような議員定数配分方法の存在を疑う声も出ている(完全に証明されているわけではない). このように議員定数配分問題は根本的な意味で数学的な難しさを内包する問題であるが, 将来とも多くの研究者の興味ある研究対象として存在し続けると思われる.


参考文献

[1] M. L. Balinski and H. P. Young, Fair Representation : Meeting the Ideal of One Man, One Vote, Yale Univ. Press, 1982.

[2] W. F. Lucas, "The apportionment problem," Modules in Applied Mathematics, Chapter 14, Lucas, W. F.(ed.), Vol.2, Springer-Verlag, 1983, 358-396.

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