楕円体

【だえんたい (ellipsoid)】

楕円体は, 2次元空間における楕円の概念を,   $n$ 次元空間において一般化したものである. 1つのベクトル$x_* \in {\bf R}^n$ および $n \times n$ 正定値対称行列$B$ を用いて,

\[
E = \{x \in {\bf R}^n \mid
     (x - x_*)^{\top} B^{-1}(x - x_*) \leq 1\}

\]

と表される集合が楕円体である. ここで, $x_*$ は 楕円体 $E$ の中心と呼ばれる. $B = J J^{\top}$ と分解されるとき,$E = \{x_* + J y \mid \|y\| \leq 1\}$と表される. したがって, 楕円体 $E$ は単位球をアフィン変換 $y \mapsto x_* + J y$により写した像である.