《大規模AHP》

【だいきぼAHP (large scale AHP) 】

　大規模AHP (Large scale AHP)[1]とは, 複数の評価者を想定したAHPのモデルである. 通常のAHPとの違いは, 多数の代替案, 複数の評価者および欠落データを許している点である. つまり, 各評価者は多数の代替案に対し一対比較するのではなく, 相対評価できる代替案のみ一対比較するものである. AHPでは一人の評価者が全一対比較するため, 評価項目（代替案）の数を$$n\,$$とすると, 一対比較の回数は$$n(n-1)/2\,$$回となり, 評価項目（代替案）の数が増加すると, 一対比較の回数が爆発的に増加する. 例えば, 評価項目が1階層で, 5個の評価項目の場合, $$5\times (5-1)/2=10\,$$回の一対比較を行う. さらに, 代替案が10個ある場合各評価項目に対し$$10\times (10-1)/2=45\,$$回の一対比較を行う必要がある. 合計すると, 235回の一対比較する必要がある. これは, かなり困難な作業である. 大規模AHPは, 複数の評価者が評価を行うことと欠落データを許すことにより, 1人の評価者が行う一対比較する作業を軽減することができる.

　AHPの重要度ベクトルの導出法には, 固有ベクトル法と幾何平均法(対数最小２乗法）があるが, 対数最小二乗法の考えを大規模な問題に適用した手法が大規模AHPである. AHPでは, 一人の評価者が同一階層の評価項目（代替案）間を全一対比較する必要がある. しかし, 評価項目（代替案）の項目数$$n\,$$が多くなるにつれて, 莫大な労力と時間が必要となる. そこで大規模AHPでは次のような評価方法を提案している.

「各評価者が相対評価できる評価項目（代替案）間のみに一対比較を行い, 一対比較による相対評価を行わない評価項目（代替案）間を許す. 相対評価された評価項目（代替案）間には一対比較値を割り当てる. 」

　大規模AHPでは, 一対比較ネットワークという考えを導入する. 一対比較ネットワークは, 次のように与える. 評価者は$$L\,$$人とし, このとき第$$l\,$$評価者が一対比較した評価項目（代替案）対の集合を,

$K_{l}=\{(i,j)|\,$代替案$$i,j(1\leq i<j\leq n)\,$$は第$$l\,$$評価者によって一対比較された. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle }\\, }

とする. 第$$l\,$$評価者が評価項目（代替案）$$i\,$$に対して, 評価項目(代替案)$$j\,$$を一対比較した場合, その一対比較値を$$a_{ij}^{l}\,$$とする. いずれかの評価者によって一対比較された評価項目（代替案）対の集合$$K\,$$は, $$K=\cup _{l=1}^{L}K_{l}\,$$であり, また, いずれの評価者からも一対比較されなかった評価項目（代替案）対の集合$${\bar {K}}\,$$は,

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{K}=\{(i,j)|1 \le i<j \le n\}\backslash K \]\, }

である. $${\bar {K}}\neq \phi \,$$であれば, 一対比較されなかった評価項目（代替案）の組が存在し, 逆も成り立つ. 大規模AHPでは各評価者が一対比較しない評価項目（代替案）間の存在も許すので, $${\bar {K}}\neq \phi \,$$となる場合もありえる. ここで, ノードの集合を$$V=\{1,\ldots ,n\}\,$$, エッジの集合を$$E\,$$としたグラフ$$G=(V,E)\,$$を一対比較ネットワークと定義する.

　第$$l_{1}\,$$評価者と第$$l_{2}(\neq l_{1})\,$$評価者が重複して評価項目（代替案）$$i,j(i<j)\,$$を一対比較したならば, ネットワーク$$G\,$$で点$$i\,$$と点$$j\,$$を結ぶエッジは2本以上存在する. 従って一対比較ネットワーク$$G\,$$のエッジの数は, $$|E|=\sum _{l=1}^{L}|K_{l}|\geq |K|\,$$である. $$|K|<|E|\,$$であれば, ある評価項目（代替案）の組に対して重複評価が存在し, 逆も成り立つ. 一対比較ネットワーク$$G\,$$において, 任意のノードは全てのノードと直接または間接的に連結されている必要がある.

　一対比較ネットワーク$$G\,$$において, エッジでノードが結ばれている関係を示す行列を, 接続行列(Connection Matrix)として$$C\in R^{n\times |E|}\,$$, 接続行列の列に割り当てられたエッジのならびに沿って, 各評価者の一対比較値を対数変換した値$${\tilde {a}}_{ij}^{l}\,$$を並べたベクトルを, カットベクトル(Cut Vector)として$構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\boldmath$p$}$\, } とする.

　大規模AHPでのウェイトベクトルの導出は, 誤差モデルを用いて, ウェイトベクトル$構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\boldmath$w$}\, } $をを対数変換した$構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tilde{\mbox{\boldmath$w$}}\, } $推定することにより求められる. すなわち,

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \min \| C^{\top} \tilde{\mbox{\boldmath$w$}} - \mbox{\boldmath$p$} \|^2 =\min \sum_{l=1}^{L} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}_i-\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}_j-\tilde{a}^l_{ij})^2\]\, }

を満足する$構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\boldmath$w$}\, } $を求める. いま$\$\|\cdot \|\,$$を$$L_{2}\,$$ノルム(ユークリッドノルム)$$\|\cdot \|_{2}\,$$とすると, $構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \tilde{\mbox{\boldmath$w$}}\, } $は正規方程式の解として, 以下のように与えられる.

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle CC^{\top}\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}=C\mbox{\boldmath$p$}\]\, }

しかし, 接続行列$$C\,$$のランクは$$r(C)=n-1\,$$であり, $構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tilde{\mbox{\boldmath$w$}}\, } $の解は一意に決定されない. そこで一般化逆行列を用いて,

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \tilde{\mbox{\boldmath$w$}}=(CC^{\top}+\mbox{\boldmath$e$}\mbox{\boldmath$e$}^{\top})^{-1}C\mbox{\boldmath$p$}+\frac{\tilde{\alpha}}{n}\mbox{\boldmath$e$}\]\, }

で与えられる. このとき構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle $\mbox{\boldmath$e$}\, } $は全ての要素が$$1\,$$のベクトル, $$\alpha \,$$は$構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \tilde{\mbox{\boldmath$w$}}\, } $を対数逆変換した$構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\boldmath$w$}\, } $の総和が$1$となるような実数である.

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参考文献

[1]} 八卷直一, 関谷和之, 「複数の評価者を想定した大規模なAHPの提案と人事評価への適用」, 『日本オペレーションズリサーチ学会論文誌』, 1999, 405-420.