自己回帰和分移動平均モデル

【じこかいきわぶんいどうへいきんもでる (autoregressive integrated moving average (ARIMA) model)】

$y_{t}$ を非定常過程とし,$\varepsilon_{t}$ を$\mbox{E}(\varepsilon_{t})=0$,$\mbox{V}(\varepsilon_{t})=\sigma^{2}$,$\mbox{E}(\varepsilon_{t}\varepsilon_{s})=0$ $(t \ne s)$のホワイトノイズとする.$L$ をラグ演算子 $L^{i}y_{t}=y_{t-i}$,$L^{i}\varepsilon_{t}=\varepsilon_{t-i}$($i=1,2,\cdots$),$\phi(L)$, $\theta(L)$ を $\phi(L) \equiv 1-\sum_{i=1}^{p}\phi_{i}L^{i}$,$\theta(L) \equiv 1+\sum_{i=1}^{p} \theta_{i}L^{i}$とする.$d$ を自然数として, $y_{t}$ の $d$ 階階差 $(1-L)^{d}y_{t}$ が定常な$\mbox{ARMA}(p,q)$ モデルで表現できるとき, モデル $\phi(L)(1-L)^{d}y_{t} =\theta(L)\varepsilon_{t}$を次数 $(p,d,q)$ の自己回帰和分移動平均モデルと呼び, $\mbox{ARIMA}(p,d,q)$ モデルと略記する.