【きかぶらうんうんどう (geometric Brownian motion)】
S t {\displaystyle S_{t}\,} を時刻 t {\displaystyle t\,} における危険資産価格とする. S t {\displaystyle S_{t}\,} が次の確率微分方程式
d S t = μ S t d t + σ S t d B t {\displaystyle {\mathcal {d}}S_{t}=\mu S_{t}{\mathcal {d}}t+\sigma S_{t}{\mathcal {d}}B_{t}\,}
にしたがうとき, 幾何ブラウン運動という. ただし B t {\displaystyle B_{t}\,} は標準ブラウン運動, μ {\displaystyle \mu \,} , σ {\displaystyle \sigma \,} は,ある一定の係数とする. 時点 0 {\displaystyle 0\,} での株価を S 0 {\displaystyle S_{0}\,} とすると, S t {\displaystyle S_{t}\,} の解過程は
S t = S 0 exp { ( μ − ( 1 / 2 ) σ 2 ) t + σ B t } {\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp\{(\mu -(1/2)\sigma ^{2})t+\sigma B_{t}\}\,}
で与えられる.
を時刻
における危険資産価格とする. が次の確率微分方程式
は標準ブラウン運動, 
,
は,ある一定の係数とする. 時点
での株価を
とすると, の解過程は
