劣勾配

【れつこうばい (subgradient)】

真凸関数 $f: {\bf R}^n \to (-\infty,+\infty)$ に対して, 次式を満足するベクトル $\xi \in {\bf R}^n$ を $f$ の $x$ における劣勾配といい, 劣勾配全体の集合を $\partial f(x)$ と表す.

\[

f(y) \ge f(x) + \xi^{\top}(y-x) \quad\quad \forall \, y \in {\bf R}^n \]

真凸関数はその実効定義域 $\mbox{dom} \, f := \{ x \, | \, f(x) < \infty \}$ の任意の相対的内点において, 少なくとも1つの劣勾配をもつ. 特に, 凸関数 $f$ が点 $x$ において微分可能ならば, $f$ の $x$ における劣勾配は唯一存在し, 通常の勾配 $\nabla f(x)$ に等しい.