《信頼性》
【しんらいせい (reliability) 】
部品, 機械の故障は日常茶飯事のことであり, 不可避なことである. 機械, システムなどの動作・故障特性について扱う分野が信頼性理論 [1, 2, 3] である. 本項においては信頼性 (reliability)について一般的に述べる. より詳しい項目は以下で解説する.
信頼性用語は日本工業規格 (JIS) により定められているので, その一部を抜粋する.
定義1 アイテム(item)とは「信頼性の対象となるシステム (系) , サブシステム, 機器, 装置, 構成品, 部品, 素子, 要素などの総称またはいずれか」である. システムとは「所定の任務を達成するために選定され, 配列され, 互いに連係して動作する一連のアイテム (ハードウェア, ソフトウェア, 人間要素) の組合せ」である.
これらの用語は上位アイテム (システム) から下位アイテム (要素) まで階層的な意味で適宜使用される.
システム (アイテム) が果たすべき仕事が{任務}であり, アイテム間の機能的・物理的な相互関連が{インターフェース}である. アイテムの周囲条件が{環境}である. そのとき信頼度 (reliability) は次のように定義される.
定義2 信頼度とは「アイテムが与えられた条件で規定の期間中, 要求された機能を果たす確率」である.
アイテムが規定の機能を失うことは{故障}であり, 故障状態の形式による分類は{故障モード}であり, 例えば, 断線, 短絡, 折損, 摩耗, 特性の劣化などがある.
定義3 初期故障とは「使用開始後の比較的早い時期に, 設計・製造上の欠点, 使用環境との不適合などによって起こる故障」である. 偶発故障とは「初期故障期間を過ぎ摩耗故障期間に至る以前の時期に, 偶発的に起こる故障」である. 摩耗故障とは「疲労・摩耗・老化現象などによって時間とともに故障率が大きくなる故障」である.
以下では, 確率変数 $X$ は連続形であると仮定する. 非負の $X$ はあるアイテムの故障が起こるまでの寿命時間 (lifetime) を表す確率変数とする. 寿命分布 (lifetime distribution) を
\makebox[20em][c]{$\displaystyle{ F(t) = \Pr\{ X \le t \} }$} (t \ge 0)
としよう. $F(t)$ は時刻 $t$ までに故障する確率を表す. 確率変数 $X$ の残存確率
\makebox[20em][c]{$\displaystyle{ R(t) = 1 - F(t) = \Pr\{ X > t \} }$} (t \ge 0)
は信頼度関数とよばれる. $R(t)$ はアイテムが時刻 $t$ で機能している確率を表す. 確率変数 $X$ の密度は存在すると仮定し,
\makebox[20em][c]{$\displaystyle{ f(t) = \frac{{\rm d} F(t)}{{\rm d}t} }$} ( t \ge 0)
と表す. 故障率 (failure rate) あるいはハザード率 (hazard rate) は $R(t) > 0$ と仮定して
\makebox[20em][c]{$\displaystyle{ r(t) = \frac{f(t)}{R(t)} }$} (t \ge 0)
と定義される. ここで,
r(t) {\rm d}t = \Pr\{ t < X \le t + {\rm d}t | X > t\} = \frac{F(t+{\rm d}t) - F(t)}{R(t)}
であることに注意すれば, $r(t) {\rm d}t$ はアイテムが時刻 $t$ で故障していないという条件の下で, 時間区間 $(t, t+{\rm d}t]$ で故障する条件付き確率を表す.
$F(0) = 0$ (すなわち $R(0) = 1$) と仮定すると
r(t) = \frac{-\frac{{\rm d}R(t)}{{\rm d}t}}{R(t)}
となるから, 初期条件 $R(0)=1$ の下でこの微分方程式を解いて
R(t) = \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
となる. この $R(t)$ を用いて, 分布および密度関数は
F(t) = 1 - \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
f(t) = r(t) \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
と書くことができる. したがって, 分布, 密度関数および信頼度はいずれも故障率 $r(t)$ を用いて書き直すことができる. 特に, $\int_0^t r(x) {\rm d}x$ は累積ハザード関数あるいはハザード関数とよばれる.
一般に, アイテムは時間経過とともに劣化する. この劣化する概念はエージング (aging) とよばれる. エージングは故障率の増減によって定義される.
定義4 故障率$r(t)$が非減少 (増加あるいは一定) 関数ならば, 寿命時間分布は, {IFR} (increasing failure rate), 一定関数ならば, {CFR} (constant failure rate), 非増加 (減少あるいは一定) 関数ならば, {DFR} (decreasing failure rate)とよばれる.
一般に, 確率順序 (stochastic order) は次のように定義される.
定義5 $X$ および $Y$ は2つの確率変数とする. あらゆる $-\infty < t < \infty$ に対し
\Pr\{ X > t \} \le \Pr\{ Y > t \}
ならば, $X$ は $Y$ より``確率的に小さい" ($X \le_{\rm st} Y$ で表す) という. あるいは, $X \le_{\rm st} Y$ はあらゆる $-\infty < t < \infty$ に対し,
\Pr \{ X \le t \} \ge \Pr\{ Y \le t \}
と同等である. さて, $t \ge 0$ に対して $[T - t | T > t]$ は $T > t$ の条件の下での条件付き確率変数とする. $T$ が IFR であることは, あらゆる $t \le t'$ に対し,
[T - t | T > t] \ge_{\rm st} [T - t' | T > t']
と同等である. DFR についても不等号を反対にすればよい. このようにして, エージングのより一般的な概念を確率順序によって定義できる. 詳しくは Shaked and Shanthikumar [4] 参照.
参考文献
[1] R. E. Barlow and F. Proschan, Mathematical Theory of Reliability, SIAM, Philadelphia, PA, 1996.
[2] R. E. Barlow and F. Proschan, Statistical Theory of Reliability and Life Testing, To Begin With, c/o Gordon Pledger, 1142 Hornell Drive, Silver Spring, MD 20904, 1981.
[3] R. E. Barlow, Engineering Reliability, SIAM, Philadelphia, PA, 1998.
[4] M. Shaked and J. G. Shanthikumar, Reliability and Maintainability, in Stochastic Models, D. P. Heyman and M. J. Sobel, eds., North-Holland, 1990. (邦訳, 伊理・今野・刀根監訳, 「確率モデルハンドブック」, 朝倉書店).