《不変埋没原理》

【ふへんまいぼつげんり (principle of invariant imbedding)】

　ある問題を解こうとするとき, この問題を含む部分問題からなる群(族)を考えることを「埋め込み」(imbedding)という. すなわち, 与問題をある問題群の１つと見做すことである. このとき, 問題の大きさは小さい(易しい)ものから大きい(難しい)ものまであり, 一番大きい(解きたい)問題が与問題である. しかし, 問題の「構造」は不変である. さらに, 相隣る問題間の関係式を導き, これを解くことによって, 与問題の「解」を求める. このような方法で解に至るまでを, 不変埋没原理 (principle of invariant imbedding)による方法という [1] [4] [5].

　たとえば,「1から10までの自然数の和を求める」問題を考えてみよう. 以下ではいつも「1から」(前向きの方法で)考えることにして, この問題を $ {\rm P}(10) $ で表わし, 「解」(この場合, 和)を $ S(10) $ としよう. このとき, 「1から $ n $ までの自然数の和を求める」部分問題 $ {\rm P}(n) $ からなる群 $\{ {\rm P}(n); n = 1, 2, \ldots , 10\} $ を考える. このこと自体が埋め込みである. 部分問題 $ {\rm P}(n) $ の解($=$和)を $ S(n) $ とする. 最後の(一番大きい)問題 $ {\rm P}(10) $ の解 $ S(10) $ が求める解である. このとき, 最初の(一番易しい)問題の解は $ S(1) = 1$ であり, 相隣る問題の解 $ S(n) $ と $ S(n+1) $ の間に漸化式

$$ S(n+1) = S(n) + n+1Orsjwiki 2007年7月3日 (水) 17:29 (JST)n = 1, 2, \ldots , 9;2007年7月3日 (水) 17:29 (JST)~S(1) = 1 $$

が成り立つ. 漸化式を $ S(1), S(2), \ldots $ の順に前向きに逐次解くことによって, $ S(10) = 55 $を得る. 他方, 「$ n $ から(いつも！)10までの自然数の和を求める」部分問題 $ {\rm Q}(n) $ の族を考えても, 上述と同様に解くことができる. これを後向きの埋め込みという.

　一般の問題では, どのような大きさの問題群に埋め込むか, 関係式が導けるか, 解けるか, 解き易いかなど, 埋め込み方に工夫を要する. たとえば, 多段階の最適化問題

\begin{eqnarray*} & & \hspace{5mm} {\rm max.} \hspace{4mm}

                 \psi(g_{1}(x_{1},x_{2}) \circ g_{2}(x_{2},x_{3}) \circ
\cdots \circ g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))   \\

& & \hspace{5mm}\mbox{s. t.} \hspace{7mm}

                x_{n+1} \in A_{n}(x_{n}) Orsjwiki (1 \le n \le N),  

\end{eqnarray*}

の最大値 $ u_{1}(x_{1}) $ と最大点 $ x^{*} = (x_{1}, x_{2}^{*}, \ldots , x_{N+1}^{*}) $ を求めるには, 新たなパラメータ $ \lambda_{n} (\in \Lambda_{n}(x_{n})) $ を含む部分問題群 $ {\cal P} = \{ {\rm P}_{n}(x_{n};\lambda_{n}) \} $ : %

\begin{eqnarray*} & & \hspace{5mm} {\rm max.} \hspace{4mm}

                 \psi(\lambda_{n} \circ g_{n}(x_{n},x_{n+1}) \circ \cdots
\circ g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))   \\

& & \hspace{5mm}\mbox{s. t.} \hspace{7mm}

                x_{m+1} \in A_{m}(x_{m}) Orsjwiki (n \le m \le N), \\[2.34mm]

& & \hspace*{7.9mm} x_{n} \in X_{n},~~\lambda_{n}

  \in \Lambda_{n}(x_{n}),~~(1 \le n \le N+1),

\end{eqnarray*} %

に埋め込むと, パラメータ空間列 $ \{\Lambda_{n}(\cdot)\} $ は前向きの再帰式

\begin{eqnarray} & & \Lambda_{1}(x) = \{ \tilde{\lambda}\},~~x \in X_{1}Orsjwiki 2007年7月3日 (水) 17:29 (JST) (

\tilde{\lambda}\ は\mbox{結合演算}~\circ~ \mbox{の左単位元})      
\nonumber \\

& & \Lambda_{n+1}(y) = \{\, \lambda \circ g_{n}(x,\,y) \, | \, \lambda \in

\Lambda_{n}(x),~y \in A_{n}(x) \, \}  \nonumber \\[-2.12mm]

& & \hspace*{40mm} y \in X_{n+1},~~ n = 1, 2, \ldots , N \nonumber \end{eqnarray}

で生成され, 最適値関数 $ u_{n} = u_{n}(x_{n};\lambda_{n}) $は次の後向き再帰式を満たす：

\begin{eqnarray} & & u_{n}(x; \lambda) = \mathopテンプレート:\rm max_{y \in A_{n}(x)}u_{n+1}(\,y\,; \lambda \circ g_{n}(x,\,y)) \nonumber \\[-2.12mm] & & \hspace*{40mm} x \in X_{n}, ~~\lambda \in \Lambda_{n}(x),~~ n = 1, 2,

\ldots , N  \nonumber  \\

& & u_{N+1}(x; \lambda) = \psi(\lambda \circ k(x))2007年7月3日 (水) 17:29 (JST)~x \in

X_{N+1},~~\lambda \in \Lambda_{N+1}(x).        \nonumber

\end{eqnarray}

これを後ろから逐次解き, 最後の $ u_{1}(x_{1};\lambda_{1}) $ に $ \lambda_{1} = \tilde{\lambda} $ を代入すると求める最大値が得られる： $ u_{1}(x_{1}) = u_{1}(x_{1};\tilde{\lambda}). $

　また, 非最適化問題としては, 木の総容量など, 多重和 (多重和の解法)

\begin{eqnarray} {\rm S}_{1}(x_{1}):\hspace{-2.21mm}& & \sum

\hspace{0.3mm}\sum\hspace{0.3mm}\cdots\hspace{0.3mm}\sum

_{\hspace{-21.1mm}(x_{2}, x_{3}, \cdots , x_{N+1}) \in P_{1}(x_{1})} \hspace{-1.9mm}\psi(g_{1}(x_{1},x_{2}) \circ \cdots \circ

g_{N}(x_{N},x_{N+1}) \circ k(x_{N+1}))\  \nonumber \\[2.34mm]

& & \hspace*{0.8mm}( P_{1}(x_{1}) := \{(x_{2}, \cdots , x_{N+1})\, |\,

x_{n+1} \in A_{n}(x_{n})~~1 \le n \le N \}) \nonumber

\end{eqnarray} を求める問題があって, やはりパラメータを含む埋め込みによって解くことができる.

　このようなパラメータを導入した埋め込みは非可分性(動的計画法における) に起因し, 単一評価系(多段決定過程における), 複合評価系(多段決定過程における)の最適化, 期待値最適化, 多重和, 多重積分 (多重積分の解法) などで考えられる [2] [3]. 不変埋没原理は変数の離散と連続, システムの確定や確率やファジィ, 問題の最適と非最適を問わず, 歴史的には数学(微分方程式, 偏微分方程式の応用), 物理数学などで, また近年はコンピュータサイエンスで幅広く用いられている.

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参考文献

[1] R. E. Bellman and E. D. Denman, Invariant Imbedding, Lect. Notes in Operation Research and Mathematical Systems, Vol. 52, Springer-Verlag, Berlin, 1971.

[2] S. Iwamoto and T. Fujita, "Stochastic Decision-making in a Fuzzy Environment," Journal of the Operations Research Society of Japan, 38 (1995), 467-482.

[3] 岩本誠一,「不変埋没によるファジィ動的計画法」, 日本オペレーションズ・リサーチ学会第33回シンポジウム, 25-33, 1995.

[4] E. S. Lee, Quasilinearization and Invariant Imbedding, Academic Press, 1968.

[5] 相良節夫, 杉坂政典,「Invariant Imbedding について」,『システムと制御』, 17 (1973), 596-601.