安定分布

【あんていぶんぷ (stable distribution) 】

　確率変数列$X_{1},X_{2},\ldots$は独立で同一の分布$F$に従うとする．このとき，任意の構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} に対して，ある数$a_{n},b_{n}$があり，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X_{1} + \ldots + X_{n} \cong a_{n} X_{1} + b_{n}}

ならば，$F$は安定(stable)であるという．ここに，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cong} は分布が等しいことを表す．$F$が安定ならば，$0<\alpha \leq 2$を満たすある$\alpha$に対して，$a_{n}=n^{\frac {1}{\alpha }}$が成り立つ．このとき，$F$は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha} -安定であるという．例えば，正規分布は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha=2} の安定分布であり，コーシー分布(Cauchy distribution)は$\alpha =1$の安定分布である．ここに，コーシー分布とは密度関数

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) = \frac {a} {\pi ((x-b)^{2} + a^{2})}, \qquad -\infty < x < \infty}

をもつ分布である．ここに，$a$は正の定数，$b$は実数の定数である．