安定分布

【あんていぶんぷ (stable distribution) 】

　確率変数列$X_{1},X_{2},\ldots$は独立で同一の分布$F$に従うとする．このとき，任意の$n$に対して，ある数$a_{n},b_{n}$があり， \begin{eqnarray*}

 X_{1} + \ldots + X_{n} \cong a_{n} X_{1} + b_{n}

\end{eqnarray*} ならば，$F$は安定(stable)であるという．ここに，$\cong$は分布が等しいことを表す．$F$が安定ならば，$0<\alpha \leq 2$を満たすある$\alpha$に対して，$a_{n}=n^{\frac {1}{\alpha }}$が成り立つ．このとき，$F$は$\alpha$-安定であるという．例えば，正規分布は$\alpha =2$の安定分布であり，コーシー分布(Cauchy distribution)は$\alpha =1$の安定分布である．ここに，コーシー分布とは密度関数 \begin{eqnarray*}

 f(x) = \frac {a} {\pi ((x-b)^{2} + a^{2})}, \qquad -\infty < x < \infty

\end{eqnarray*} をもつ分布である．ここに，$a$は正の定数，$b$は実数の定数である．