積率母関数

【せきりつぼかんすう (moment generating function)】

確率分布関数 $F(x)$ をもつ分布, または確率変数 $X$, に対して, 実数 $\theta$ をパラメータとする関数 $\phi(\theta)=\mathrm{E}(\mathrm{e}^{\theta X})=\int \mathrm{e}^{\theta x} \mathrm{d}F(x)$ を積率母関数と呼ぶ. 積率母関数が存在するためには, 任意の次数のモーメントが存在しなければならないが, よく使われるほとんどの分布は積率母関数をもつ. 積率母関数が存在する場合には, $\theta$ に形式的に $\mbox{i}t$ ($\mbox{i}$は虚数単位)を代入することで特性関数が得られる.