《大規模AHP》
【だいきぼAHP (large scale AHP) 】
大規模AHP (Large scale AHP)[1]とは, 複数の評価者を想定したAHPのモデルである. 通常のAHPとの違いは, 多数の代替案, 複数の評価者および欠落データを許している点である. つまり, 各評価者は多数の代替案に対し一対比較するのではなく, 相対評価できる代替案のみ一対比較するものである. AHPでは一人の評価者が全一対比較するため, 評価項目（代替案）の数を$n$とすると, 一対比較の回数は$n(n-1)/2$回となり, 評価項目（代替案）の数が増加すると, 一対比較の回数が爆発的に増加する. 例えば, 評価項目が1階層で, 5個の評価項目の場合, $5 \times (5-1)/2=10$回の一対比較を行う. さらに, 代替案が10個ある場合各評価項目に対し$10 \times (10-1)/2=45$回の一対比較を行う必要がある. 合計すると, 235回の一対比較する必要がある. これは, かなり困難な作業である. 大規模AHPは, 複数の評価者が評価を行うことと欠落データを許すことにより, 1人の評価者が行う一対比較する作業を軽減することができる.
AHPの重要度ベクトルの導出法には, 固有ベクトル法と幾何平均法(対数最小２乗法）があるが, 対数最小二乗法の考えを大規模な問題に適用した手法が大規模AHPである. AHPでは, 一人の評価者が同一階層の評価項目（代替案）間を全一対比較する必要がある. しかし, 評価項目（代替案）の項目数$n$が多くなるにつれて, 莫大な労力と時間が必要となる. そこで大規模AHPでは次のような評価方法を提案している.
\bf「各評価者が相対評価できる評価項目（代替案）間のみに一対比較を行い, 一対比較による相対評価を行わない評価項目（代替案）間を許す. 相対評価された評価項目（代替案）間には一対比較値を割り当てる. 」}
大規模AHPでは, 一対比較ネットワークという考えを導入する. 一対比較ネットワークは, 次のように与える. 評価者は$L$人とし, このとき第$l$評価者が一対比較した評価項目（代替案）対の集合を,
K_l=\{(i,j)|\mbox{代替案$i,j(1 \le i<j \le n)$は第$l$評価者によって一対比較された. }\}
\]
とする. 第$l$評価者が評価項目（代替案）$i$に対して, 評価項目(代替案)$j$を一対比較した場合, その一対比較値を$a^l_{ij}$とする. いずれかの評価者によって一対比較された評価項目（代替案）対の集合$K$は, $K=\cup^L_{l=1}K_l$であり, また, いずれの評価者からも一対比較されなかった評価項目（代替案）対の集合$\bar{K}$は,
\bar{K}=\{(i,j)|1 \le i<j \le n\}\backslash K
\]
である. $\bar{K}\ne \phi$であれば, 一対比較されなかった評価項目（代替案）の組が存在し, 逆も成り立つ. 大規模AHPでは各評価者が一対比較しない評価項目（代替案）間の存在も許すので, $\bar{K}\ne \phi$となる場合もありえる. ここで, ノードの集合を$V=\{1,\ldots,n\}$, エッジの集合を$E$としたグラフ$G=(V,E)$を一対比較ネットワークと定義する.
第$l_1$評価者と第$l_2(\ne l_1)$評価者が重複して評価項目（代替案）$i,j(i<j)$を一対比較したならば, ネットワーク$G$で点$i$と点$j$を結ぶエッジは2本以上存在する. 従って一対比較ネットワーク$G$のエッジの数は, $|E|=\sum^L_{l=1}|K_l|\geq |K|$である. $|K|<|E|$であれば, ある評価項目（代替案）の組に対して重複評価が存在し, 逆も成り立つ. 一対比較ネットワーク$G$において, 任意のノードは全てのノードと直接または間接的に連結されている必要がある.
一対比較ネットワーク$G$において, エッジでノードが結ばれている関係を示す行列を, 接続行列(Connection Matrix)として$C \in R^{n \times |E|}$, 接続行列の列に割り当てられたエッジのならびに沿って, 各評価者の一対比較値を対数変換した値$\tilde{a}^l_{ij}$を並べたベクトルを, カットベクトル(Cut Vector)として$\mbox{\boldmath$p$}$とする.
大規模AHPでのウェイトベクトルの導出は, 誤差モデルを用いて, ウェイトベクトル$\mbox{\boldmath$w$}$をを対数変換した$\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}$推定することにより求められる. すなわち,
\min \| C^{\top} \tilde{\mbox{\boldmath$w$}} - \mbox{\boldmath$p$} \|^2
=\min \sum_{l=1}^{L} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}_i-\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}_j-\tilde{a}^l_{ij})^2
\]
を満足する$\mbox{\boldmath$w$}$を求める. いま$\| \cdot \|$を$L_{2}$ノルム(ユークリッドノルム)$\| \cdot \|_2$とすると, $\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}$は正規方程式の解として, 以下のように与えられる.
CC^{\top}\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}=C\mbox{\boldmath$p$}
\]
しかし, 接続行列$C$のランクは$r(C)=n-1$であり, $\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}$の解は一意に決定されない. そこで一般化逆行列を用いて,
\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}=(CC^{\top}+\mbox{\boldmath$e$}\mbox{\boldmath$e$}^{\top})^{-1}C\mbox{\boldmath$p$}+\frac{\tilde{\alpha}}{n}\mbox{\boldmath$e$}
\]
で与えられる. このとき$\mbox{\boldmath$e$}$は全ての要素が$1$のベクトル, $\alpha$は$\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}$を対数逆変換した$\mbox{\boldmath$w$}$の総和が$1$となるような実数である.
参考文献
[1]} 八卷直一, 関谷和之, 「複数の評価者を想定した大規模なAHPの提案と人事評価への適用」, 『日本オペレーションズリサーチ学会論文誌』, 1999, 405-420.