クープマン問題

【くーぷまんもんだい (Koopman problem)】

クープマンが1957年に最初に提起した探索努力の最適配分問題である. 探索空間全体を \( X=(-\infty, \infty) \), 点\( x \in X\)に目標物が存在する確率密度を\( p(x) \) とする. 点\( x\)に投入する探索努力密度を\( \varphi(x) \)とするとき, ここに存在する目標物を確率\( 1-\exp( - \varphi(x) ) \)で探知できると仮定する. このとき, 探索努力総量\( \Phi\)の制約下で目標探知確率最大化の探索努力密度を求める次の問題のこと.

\[

\max_{\{\varphi(x)\}} ~ \int_X p(x) [ 1- \exp(- \varphi(x)) ] {\mbox{d}}x .

\]

ただし, $\varphi(x) \geq 0, \displaystyle{\int_X \varphi(x) {\mbox{d}}x =\Phi .}$