共役関数

【きょうやくかんすう (conjugate function)】

真凸関数 $f: {\bf R}^n \to (-\infty,+\infty]$ に対して, 次式で定義される真凸関数 $f^*: {\bf R}^n \to (-\infty,+\infty]$ のこと.

\[ f^*(\xi) := \sup_{x \in \mbox{\bf R}^n} \{ \, \xi^{\top} x - f(x) \, \} \]

共役関数 $f^*$ に対して, さらにその共役関数 $f^{**}$ を考えることができるが, $f$ が下半連続な真凸関数のときには, $f^{**}$ は $f$ に一致する. 共役関数は数理計画の双対理論において重要な役割を果たす.