確率積分

【かくりつせきぶん (stochastic integral)】

ブラウン運動 $\{B(t)\}_{t\ge0}$ と $\mathrm{E} (\int_0^t \Psi(s)^2\, \mathrm{d} s )<\infty$ を満たす確率過程 $\{\Psi(s)\}_{t\ge 0}$ に対し, $[0,t]$ を $0=t_0<t_1<\cdots<t_n=t$ かつ $\lim_{n \to \infty}\max_i(t_{i+1}-t_i)=0$ となるように分割したとき,

\[

 N(t)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}
        \Psi(t_i)\,\bigl(B(t_{i+1}) - B(t_i)\bigr)

\]

によってマルチンゲール~$\{N(t)\}_{t\ge0}$ が一意に定まる. この $\{ N(t) \}_{t \ge 0}$ を $\{B(t)\}_{t\ge0}$ による $\{\Psi(t)\}_{t\ge0}$の(伊藤型の)確率積分という.