《アレンジメント》
【あれんじめんと (arrangement) 】
超平面のアレンジメント(hyperplane arrangement) とは, 超平面による空間の 分割である. 双対変換によって, 点集合は超平面集合に変換されるので, 点集合の問題にも対応する. また, 離散システムの観 点からは, 線形有向マトロイドの1つの表現である. 組合せ幾何とアルゴリズ ムからの詳しい解説が [1] にある.
$d$次元ユークリッド空間${\bf R}^d$内の$n$個の超平面($d=2$の場合は直線) の集合$H$を考える. この$H$によって, ${\bf R}^d$はいろいろな次元のフェイス (face) に分割される. 例えば, 2次元内の有限個の直線の集合は, 2次元, 1次元, 0次元のフェイス (面, 辺, 点) に平面を自然に分割する. これらのフェイスの集合とその接続関係, 各フェイスに対しそれを含む超平面の情報を合わせたものを$H$のアレンジメントといい, ${\cal A}(H)$と書く. フェイスの次元を明記したいときは, $k$次元$(0\allowbreak \le k\le d)$のフェイスを$k$-フェイスと書く. $0$-フェイスを頂点, $1$-フェイスを辺, $(d-1)$-フェイスを ファセット (facet), $d$-フェイスをセル (cell) とも呼ぶ.
フェイス$f$がフェイス$g$の部分フェイスであるとは, $f$の次元が$g$の次元 より1だけ小さく, $f$が$g$の境界に含まれていることである. $f$が$g$の部 分フェイスならば, $f$と$g$は (互いに) 接続しているといい, この関係 を接続関係という. フェイスの接続関係全体は束をなし, アレンジメントは, 各フェイスの座標など幾何情報と, このフェイスのなす束で表される.
${\bf R}^d$内の$n\ge d$個の超平面のアレンジメントが単純 (simple) である とは, $H$に属する任意の$d$個の超平面は1点で交わり, どの$d+1$個の超平面 も交点をもたないことである. アレンジメントの$k$-フェイスの最大数$f_k(H)$は, アレンジメントが単純である とき達成され,
f_k(H)=\sum_{i=0}^k {d-i\choose k-i}{n\choose d-i}
で与えられる. 特に, $d$-フェイス, すなわちセルの数は$d$を定数とみなすと $f_d(H)\allowbreak =\sum_{i=0}^d {n\choose d-i}={\rm O}(n^d)$となる.
アレンジメントは逐次添加法で構成できる. 超平面を1つずつ付け加え, アレンジメントの接続関係を更新していく方法である. 2次元の場合で, 平面上の$n$本の直線からなる単純なアレンジメントを構成する方法を述べる.
$n$本の直線の集合を$L=\{ l_1,l_2,\cdots ,l_n\}$とし, $(x,y)$平面上にあるとする. $k-1$本の直線$l_1,\cdots ,l_{k-1}$からなるアレンジメントに$k$番目の 直線$l_k$を加えてアレンジメントを更新する. 各頂点には, この頂点に接続している4つの辺を反時計回りの 順で貯えておく. 各辺には, その辺を含む直線の式と 辺の両端点の頂点を覚えておく. $x=-\infty$で$l_k$のすぐ上にある直線を左から辿り, この辺の下に接続している面の境界を時計回りに回って行く. $l_k$と交わった時は, その交点から始めて, 今度は隣の面の境界 を時計回りに辿る. これを$l_k$がすでにアレンジメントに存在していた $k-1$本の直線と交わるまで行なう. この操作により, $l_k$上に新たに現れる頂点もすべて列挙することができ, そこでアレンジメントを更新していくことができる. その手間は, 直線$l_k$と交わる面の境界上で 辿る辺の数に比例する.
$d$次元の$n$個の超平面のアレンジメントにおいて, 新たに1つ超平面$h$を加え, $h$と交わる各セルのフェイスの集合をゾーンと定義すると, 次のゾーン定理が成り立つ.
ゾーン定理. $d$次元空間内の$n$個の超平面から成るアレンジメントにおいて, 1つの超平面のゾーンのフェイスの総数は${\rm O}(n^{d-1})$である.
このゾーン定理より, アレンジメントを逐次添加法で構成したときの計算量を ${\rm O}(n^d)$でおさえることができる.
ゾーン定理の離散幾何への応用を1つ上げておく. $d$次元の$n$超平面のアレンジメントのセルの集合を ${\cal C}$, 各セル$c\in {\cal C}$のファセットの数を$d(c)$としたとき, $ \sum_{c\in{\cal C}}d(c)^2={\rm O}(n^d)$ が成り立つ. $ \sum_{c\in{\cal C}}d(c)={\rm O}(n^d) $ であるから, 各セルのファセットの数はそんなに分散が大きくないことが わかる. 2次元の場合には, このような関係から複数のセルの 辺の数を評価することができる.
$d$次元超平面アレンジメントにおいて, $x_d$軸に平行な直線で貫いたときに下から$k$番目となる交点をもつフェイス全体の集合を$k$-レベル, または単にレベル という. 2次元の場合, 高々$k$までのレベルのサイズは${\rm O}(kn)$であり, $k$-レベルのサイズは${\rm O}(\sqrt{k}n)$となる. 双対性より, これは平面の$n$点を直線で等分割する方法の数が${\rm O}(n^{1.5})$であることも 意味する. $k$-レベルを ${\rm O}(\sqrt{k}n(\log n)^2)$時間で求める 平面走査法アルゴリズムが知られている.
3次元の平面のアレンジメントでもレベルのサイズは${\rm o}(n^3)$である. 4次元以上の 場合, 全体より小さいオーダであるかどうかはわかっていない. また, 高次元の場合 は, 0, 1次元フェイスの頂点, 辺で構成されるスケルトンをたどるアルゴリズムも知られており, 特に3次元ではアレンジメント全体を 求めるよりも効率よく計算できる. レベルや1つのセルのスケルトンも 有用で, 点集合の問題を双対変 換して解いている場合, スケルトンのみで十分な場合もある.
曲線・曲面のアレンジメントも有用であり, このアレンジメントの1つのセルやゾーンの 組合せ複雑度の解析は, Davenport-Schinzel列の理論としてまとめられている. 定数次数の代数曲線のアレンジメントでは, セルのフェイス数は 一般次元で全体のオーダよりほぼ1つ小さな次数の数でおさえられる.
参考文献
[1] H. Edelsbrunner, Algorithms in Combinatorial Geometry, Springer-Verlag, 1987. 邦訳 (今井浩, 今井桂子訳), 『組合せ幾何学のアルゴリズム』, 共立出版, 1995.