【きょくへんかん (polar transformation)】
2次曲線に関する点と直線の双対変換のこと. d {\displaystyle d\,} 次元空間では, 2次曲面が ( d + 1 ) × ( d + 1 ) {\displaystyle (d+1)\times (d+1)\,} 対称行列 A {\displaystyle A\,} と d {\displaystyle d\,} 次元ベクトル x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\,} を用いて ( x , 1 ) ⊤ A ( x , 1 ) = 0 {\displaystyle ({\boldsymbol {x}},1)^{\top }A({\boldsymbol {x}},1)=0\,} と表せ, 点 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}\,} に対して, 方程式 ( x , 1 ) ⊤ A ( p , 1 ) = 0 {\displaystyle ({\boldsymbol {x}},1)^{\top }A({\boldsymbol {p}},1)=0\,} を満たす超平面 D ( p ) {\displaystyle D(p)\,} を対応させる. 逆に定数ベクトル p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}\,} を用いて ( x , 1 ) A ( p , 1 ) = 0 {\displaystyle ({\boldsymbol {x}},1)A({\boldsymbol {p}},1)=0\,} と書ける超平面 h {\displaystyle h\,} に対して点 D ( h ) = p {\displaystyle D(h)=p\,} を対応させる. 明らかに D ( D ( p ) ) = p {\displaystyle D(D(p))=p\,} , D ( D ( h ) ) = h {\displaystyle D(D(h))=h\,} である. 極変換は, 接続関係を保存する.
次元空間では, 2次曲面が
対称行列
と次元ベクトル
を用いて
と表せ, 点
に対して, 方程式
を満たす超平面
を対応させる. 逆に定数ベクトルを用いて
と書ける超平面
に対して点 
を対応させる. 明らかに
, 
である. 極変換は, 接続関係を保存する.