【きょうやくかんすう (conjugate function)】
真凸関数 f : R n → ( − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to (-\infty ,+\infty ]\,} に対して, 次式で定義される真凸関数 f ∗ : R n → ( − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle f^{*}:\mathbf {R} ^{n}\to (-\infty ,+\infty ]\,} のこと.
f ∗ ( ξ ) := sup x ∈ R n { ξ ⊤ x − f ( x ) } {\displaystyle f^{*}(\xi ):=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\{\,\xi ^{\top }x-f(x)\,\}\,}
共役関数 f ∗ {\displaystyle f^{*}\,} に対して, さらにその共役関数 f ∗ ∗ {\displaystyle f^{**}\,} を考えることができるが, f {\displaystyle f\,} が下半連続な真凸関数のときには, f ∗ ∗ {\displaystyle f^{**}\,} は f {\displaystyle f\,} に一致する. 共役関数は数理計画の双対理論において重要な役割を果たす.
![{\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to (-\infty ,+\infty ]\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba67a7348319319028ec014e23da676b2ee2b1d7)
に対して, 次式で定義される真凸関数 ![{\displaystyle f^{*}:\mathbf {R} ^{n}\to (-\infty ,+\infty ]\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1b18014d392b545b546f1acfc89b2fea61c124)
のこと.
に対して, さらにその共役関数 
を考えることができるが, 
が下半連続な真凸関数のときには, は に一致する. 共役関数は数理計画の双対理論において重要な役割を果たす.