【じこかいきわぶんいどうへいきんもでる (autoregressive integrated moving average (ARIMA) model)】
y t {\displaystyle y_{t}\,} を非定常過程とし, ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}\,} を E ( ε t ) = 0 {\displaystyle {\mbox{E}}(\varepsilon _{t})=0\,} , V ( ε t ) = σ 2 {\displaystyle {\mbox{V}}(\varepsilon _{t})=\sigma ^{2}\,} , E ( ε t ε s ) = 0 {\displaystyle {\mbox{E}}(\varepsilon _{t}\varepsilon _{s})=0\,} ( t ≠ s ) {\displaystyle (t\neq s)\,} のホワイトノイズとする. L {\displaystyle L\,} をラグ演算子 L i y t = y t − i {\displaystyle L^{i}y_{t}=y_{t-i}\,} , L i ε t = ε t − i {\displaystyle L^{i}\varepsilon _{t}=\varepsilon _{t-i}\,} ( i = 1 , 2 , ⋯ {\displaystyle i=1,2,\cdots \,} ), ϕ ( L ) {\displaystyle \phi (L)\,} , θ ( L ) {\displaystyle \theta (L)\,} を ϕ ( L ) ≡ 1 − ∑ i = 1 p ϕ i L i {\displaystyle \textstyle \phi (L)\equiv 1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}L^{i}\,} , θ ( L ) ≡ 1 + ∑ i = 1 p θ i L i {\displaystyle \textstyle \theta (L)\equiv 1+\sum _{i=1}^{p}\theta _{i}L^{i}\,} とする. d {\displaystyle d\,} を自然数として, y t {\displaystyle y_{t}\,} の d {\displaystyle d\,} 階階差 ( 1 − L ) d y t {\displaystyle (1-L)^{d}y_{t}\,} が定常な ARMA ( p , q ) {\displaystyle {\mbox{ARMA}}(p,q)\,} モデルで表現できるとき, モデル ϕ ( L ) ( 1 − L ) d y t = θ ( L ) ε t {\displaystyle \phi (L)(1-L)^{d}y_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,} を次数 ( p , d , q ) {\displaystyle (p,d,q)\,} の自己回帰和分移動平均モデルと呼び, ARIMA ( p , d , q ) {\displaystyle {\mbox{ARIMA}}(p,d,q)\,} モデルと略記する.
を非定常過程とし,
を
,
,
のホワイトノイズとする.
をラグ演算子 
,
(
),
, 
を 
,
とする.
を自然数として, の 階階差 
が定常な
モデルで表現できるとき, モデル 
を次数 
の自己回帰和分移動平均モデルと呼び, 
モデルと略記する.