分布の弱収

【 ぶんぷのじゃくしゅうそく (weak convergence of distribution) 】

$(S,{\mathcal {B}}(S))\,$を$S\,$を距離空間とする ボレル可測空間とする． この可測空間上の確率分布の列$\mu _{1},\mu _{2},\cdots \,$と 確率分布$\nu \,$が， $(S,{\mathcal {B}}(S))\,$上の任意の有界な実数値連続関数$f\,$に対して，

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f(x)\mu _{n}(dx)=\int _{S}f(x)\nu (dx)$

を満たすとき， $n\to \infty \,$に対して$\mu _{n}\,$は$\nu \,$へ弱収束するという． これは$\mathbf {X} _{n}\,$を確率分布$\mu _{n}\,$に従うランダムな変量， $\mathbf {Y} \,$を確率分布$\nu \,$に従うランダムな変量とするとき， $(S,{\mathcal {B}}(S))\,$上の任意の有界な実数値連続関数$f\,$に対して

$\lim _{n\to \infty }E(f(\mathbf {X} _{n}))=E(f(\mathbf {Y} ))$

が成り立つことに等しい． 特に，$S=(-\infty ,+\infty )\,$ならば， $\mu _{n}\,$の分布関数$F_{n}(x)\,$が$\nu \,$の分布関数$G(x)\,$に$G\,$のすべての連続点$x\,$で収束することに等しい．