劣勾配

【れつこうばい (subgradient)】

真凸関数 $f:{\mathbf {R} }^{n}\to (-\infty ,+\infty )\,$ に対して, 次式を満足するベクトル $\xi \in {\mathbf {R} }^{n}\,$ を $f\,$ の $x\,$ における劣勾配といい, 劣勾配全体の集合を $\partial f(x)\,$ と表す.

\[

f(y) \ge f(x) + \xi^{\top}(y-x) \quad\quad \forall \, y \in {\bf R}^n \]

真凸関数はその実効定義域 ${\mbox{dom}}\,f:=\{x\,|\,f(x)<\infty \}\,$ の任意の相対的内点において, 少なくとも1つの劣勾配をもつ. 特に, 凸関数 $f\,$ が点 $x\,$ において微分可能ならば, $f\,$ の $x\,$ における劣勾配は唯一存在し, 通常の勾配 $\nabla f(x)\,$ に等しい.