「双対性理論」の版間の差分
| 1行目: | 1行目: | ||
| − | '''【そうついせいりろん (duality theory)】''' | + | <math>\int f(x)dx</math><math>\int f(x)dx</math>'''【そうついせいりろん (duality theory)】''' |
[[双対性理論]] (duality theory)は，非線形計画のみならず線形計画，多目的計画，離散凸解析などの分野で主問題とその双対問題の関係，および集合や関数の双対関係を説明する重要な基礎理論である [1, 2, 3, 4]． | [[双対性理論]] (duality theory)は，非線形計画のみならず線形計画，多目的計画，離散凸解析などの分野で主問題とその双対問題の関係，および集合や関数の双対関係を説明する重要な基礎理論である [1, 2, 3, 4]． | ||
| 33行目: | 33行目: | ||
| − | (i) <math>\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}\ge\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}</math> | + | <math>\mbox{(i)}</math> <math>\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}\ge\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}</math> |
| − | (ii) <math>0\in{\mbox{int}\,U}\;</math> または <math>\; 0\in{\mbox{int}\,V} | + | <math>\mbox{(ii)}</math> <math>0\in{\mbox{int}\,U}\;</math> または <math>\; 0\in{\mbox{int}\,V} |
\Longrightarrow\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}</math> | \Longrightarrow\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}</math> | ||
| 66行目: | 66行目: | ||
| − | :<math>L(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)-y^{\top}u\,\}</math> | + | :<math>L(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)-y^{\top}u\,\}</math> <math>\mbox{(3)}</math> |
| − | <math>\mbox{(3)} | ||
と定義する．<math>-L(x,\cdot)=(f(x,\cdot))^{*}, f(x,\cdot)=(-L(x,\cdot))^{*}</math>が成立しているので， | と定義する．<math>-L(x,\cdot)=(f(x,\cdot))^{*}, f(x,\cdot)=(-L(x,\cdot))^{*}</math>が成立しているので， | ||
| − | |||
| − | |||
| + | :<math>\varphi{(x)}=\sup_{y}L(x,y), \quad\quad \psi{(y)}=\inf_{x}L(x,y)</math> <math>\mbox{(4)}</math> | ||
| − | |||
| + | となる．通常，<math>\mbox{inf}_{x}L(x,\bar{y})=L(\bar{x},\bar{y})=\mbox{sup}_{y}L(\bar{x},y)</math>すなわち，すべての <math>x\in{\mathbf{R}^n}</math>と<math>y\in{\mathbf{R}^m}</math> に対して<math>L(x,\bar{y})\ge{L(\bar{x},\bar{y})}\ge{L(\bar{x},y)}</math>が成り立つとき，<math>(\bar{x},\bar{y})</math> を関数 <math>L\, </math> の <math>\mathbf{R}^{n}\times{\mathbf{R}^m}</math> 上での鞍点 (saddle point) と呼ぶ．(4) により， | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | (iii) \ | + | <math>\mbox{(iii)}</math> <math>\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{inf}_{x}\,[\,\mbox{sup}_{y}L(x,y)\,] |
| − | \ge\ | + | \ge\mbox{sup}_{y}\,[\,\mbox{inf}_{x}L(x,y)\,]=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}</math> |
| − | (iv) | + | |
| − | + | ||
| − | \Longleftrightarrow (\bar{x},\bar{y}) が L の鞍点 | + | <math>\mbox{(iv)}</math> <math>varphi{(\bar{x})}=\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}=\psi{(\bar{y})} |
| − | + | \Longleftrightarrow (\bar{x},\bar{y})</math> が<math>L\,</math>の鞍点 | |
| − | + | ||
| + | ::<math>\Longleftrightarrow \mbox{min}_{x}\mbox{sup}_{y}L(x,y)=\mbox{max}_{y}\mbox{inf}_{x}L(x,y) | ||
\Longleftrightarrow | \Longleftrightarrow | ||
| − | \varphi{(\bar{x})}=L(\bar{x},\bar{y})=\psi{(\bar{y})} | + | \varphi{(\bar{x})}=L(\bar{x},\bar{y})=\psi{(\bar{y})}</math> |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | </math> | ||
| 100行目: | 95行目: | ||
:<math>\mbox{(NLP)} \; \; | :<math>\mbox{(NLP)} \; \; | ||
\mbox{min.} \ f_{0}(x) \quad \mbox{s. t.} \; \; | \mbox{min.} \ f_{0}(x) \quad \mbox{s. t.} \; \; | ||
| − | g_{i}(x)\le{0} \ (i=1,\ldots, k), \ | + | g_{i}(x)\le{0} \ (i=1,\ldots, k), \; \; |
h_{j}(x)=0 \ (j=1,\ldots,l),</math> | h_{j}(x)=0 \ (j=1,\ldots,l),</math> | ||
| 107行目: | 102行目: | ||
| − | :<math> | + | :<math> |
| − | \begin{ | + | \begin{array}{lll} |
| − | F(x) | + | F(x) &:= & (g_{1}(x),\ldots,g_{k}(x),h_{1}(x),\ldots,h_{l}(x))^{\top}\\ |
| − | \theta(w) | + | \theta(w) &:= & \sup_{\lambda,\mu}\{\lambda^{\top}w_{1}+\mu^{\top}w_{2}\,|\, |
(\lambda,\mu)\in{\mathbf{R}^{k}_{+}\times{\mathbf{R}^{l}}},w=(w_1,w_2)^{\top}\}\\ | (\lambda,\mu)\in{\mathbf{R}^{k}_{+}\times{\mathbf{R}^{l}}},w=(w_1,w_2)^{\top}\}\\ | ||
| − | f(x,u) | + | f(x,u) &:= & f_{0}(x)+\theta{(F(x)+u)} |
| − | \end{ | + | \end{array} |
| − | |||
</math> | </math> | ||
2007年6月29日 (金) 12:18時点における版
【そうついせいりろん (duality theory)】
双対性理論 (duality theory)は，非線形計画のみならず線形計画，多目的計画，離散凸解析などの分野で主問題とその双対問題の関係，および集合や関数の双対関係を説明する重要な基礎理論である [1, 2, 3, 4]．
「双対」 (dual) と「共役」 (conjugate) は元々同義語として用いられ，数学の関数解析の分野では，ノルム空間 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X\, } 上の有界線形汎関数の全体を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X\,} の双対空間 (dual space) または共役空間 (conjugate space) といい，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X^{*}\, } と表して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\in{X}\, } における 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^{*}\in{X^*}} の値を または 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^{*}(x)} と書く．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X\, } が 次元実ユークリッド空間 の場合は，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\mathbf{R}^n)^{*}} と は同一視でき， となり，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \langle x, x^{*}\rangle} は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\, } と の内積 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^{\top}x^{*}} となる．以下に述べる事柄は，無限次元空間に対しても拡張できるが，ここでは簡単のため 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{R}^n} に限定して説明する．
空間 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{R}^n} 上で定義された拡張実数値関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f: \mathbf{R}^n\to\bar{\mathbf{R}}} に対して(ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{\mathbf{R}}=\mathbf{R}\cup \{ \infty , -\infty\}} )，
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^*(\xi):=\sup_{x\in{\mathbf{R}^n}} \{ \, \xi^{\top}x - f(x) \, \}}
で定義される関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^*\, }
を 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\, }
の共役関数 (conjugate function) という．共役関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^*\, }
に対して，さらにその共役関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^{**}=(f^*)^{*}}
を考えることができるが，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\, }
が下半連続な真凸関数のときには，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^{**}\, }
は に一致する．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\, }
に を対応させる写像をルジャンドル-フェンシェル変換 (Legendre-Fenchel transform) と呼ぶ．
下半連続な真凸関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f: \mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to\bar{\mathbf{R}}} に対して，関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \varphi : \mathbf{R}^n \to \bar{\mathbf{R}}} と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \psi : \mathbf{R}^m \to \bar{\mathbf{R}}} をそれぞれ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \varphi{(x)}:=f(x,0)} と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \psi{(y)}:=-f^{*}(0,y)} で定義し，次の問題(P)と(D)を主問題 (primal problem) とその双対問題 (dual problem) と呼ぶ [1, 4]．
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{array}{lll} (P) & \min_{x\in \mathbf{R}^n}& \varphi{(x)} \\ (D) & \max_{y\in \mathbf{R}^m}& \psi{(y)} \end{array} }
また，
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U:=\{u\in{\mathbf{R}^m}\,| \inf_{x\in{\mathbf{R}^n}}f(x,u)<+\infty\}\quad V:=\{v\in{\mathbf{R}^n}\,|\inf_{y\in{\mathbf{R}^m}}f^{*}(v,y)<+\infty\}}
とおくと，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U\, }
と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V\, }
は凸集合となる．このとき，以下が成立する．
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(i)}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}\ge\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(ii)}} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0\in{\mbox{int}\,U}\;} または 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \; 0\in{\mbox{int}\,V} \Longrightarrow\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}}
ここで，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{int}\,U}
は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U\, }
の内部を表す．(i)を弱双対定理 (weak duality theorem)，(ii)を双対定理 (duality theorem) と呼び，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}}
が満たされるとき，主問題(P)と双対問題(D)の間に双対性 (duality) が成立するという．(i)により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{sup}_{y}\psi{(y)}=+\infty}
なら主問題(P)は実行可能解を持たないが，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -\infty<\varphi{(\bar{x})}=\psi{(\bar{y})}<+\infty}
となる 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{x}}
と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{y}}
が存在すれば，それぞれ(P)と(D)の最適解となり，強い意味の双対性が成立する．一方，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}>\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}}
となるとき，主問題と双対問題の間に双対性のギャップ (duality gap) が存在するという．
主問題(P)において，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x,u):=c^{\top}x+k(x)+h(b-Ax+u)} （ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k: \mathbf{R}^n\to\bar{\mathbf{R}}} と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h: \mathbf{R}^m\to\bar{\mathbf{R}}} は下半連続な真凸関数で構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A\in{\mathbf{R}^{m\times{n}}}} , 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b\in{\mathbf{R}^m}} , 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\in{\mathbf{R}^n}} ）とすると，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^{*}(v,y)=-b^{\top}y+h^{*}(y)+k^{*}(A^{\top}y-c+v)} となり [4]，主問題(P)と双対問題(D)はそれぞれ
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{array}{llll} \mbox{min}_{x\in \mathbf{R}^n} & c^{\top}x+k(x)+h(b-Ax) & & \mbox{(1)}\\ \\ \mbox{max}_{y\in \mathbf{R}^m} & b^{\top}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{\top}y-c) & & \mbox{(2)} \end{array} }
となる．ここで構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b\in\mbox{int}\,(A\mbox{dom}k+\mbox{dom}h)}
または構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\in\mbox{int}\,(A^{\top}\mbox{dom}h^{*}-\mbox{dom}k^{*})}
が成立すれば，(ii)により主問題 (1) と双対問題 (2) の間に双対性が成立する．（ただし，dom は拡張実数値関数の実効定義域を表す．）これをフェンシェルの双対性 (Fenchel duality) と呼んでいる．通常は，簡略化して 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\, }
と を零ベクトル，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -A\, }
を恒等写像として，新たに構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)\, }
を凸関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_1(x):=k(x)}
と凹関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_2(x):=-h(x)}
の差で表し，主問題 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{min}_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}}
に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{max}_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}}
をフェンシェルの双対問題 (Fenchel dual problem) と呼ぶ．ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_{2}^{*}(y):=\mbox{inf}_{x\in{\mathbf{R}^n}}\{y^{\top}x-f_{2}(x)\}}
．双対性は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{int}\,(\mbox{dom}f_1)\,\cap\, \mbox{int}\,(\mbox{dom}f_2)\neq\emptyset}
のとき成立する．また，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k(x):=\mbox{sup}_{s\le{0}}x^{\top}s, h(z):=\mbox{sup}_{w\ge{0}}z^{\top}w}
とすると，(1) と(2) は線形計画の主問題と双対問題となる [2, 4]．
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{array}{clcll} \mbox{(P}_{LP}\mbox{)} & \mbox{min.} & c^{\top}x & s. t. & x\ge{0}, \ Ax\ge{b}. \\ \mbox{(D}_{LP}\mbox{)} & \mbox{max.} & b^{\top}y & s. t. & y\ge{0}, \ A^{\top}y\le{c}. \end{array} }
次に，ラグランジュ関数 (Lagrangian function) を
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)-y^{\top}u\,\}} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(3)}}
と定義する．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -L(x,\cdot)=(f(x,\cdot))^{*}, f(x,\cdot)=(-L(x,\cdot))^{*}}
が成立しているので，
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \varphi{(x)}=\sup_{y}L(x,y), \quad\quad \psi{(y)}=\inf_{x}L(x,y)} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(4)}}
となる．通常，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{inf}_{x}L(x,\bar{y})=L(\bar{x},\bar{y})=\mbox{sup}_{y}L(\bar{x},y)}
すなわち，すべての 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\in{\mathbf{R}^n}}
と構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y\in{\mathbf{R}^m}}
に対して構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L(x,\bar{y})\ge{L(\bar{x},\bar{y})}\ge{L(\bar{x},y)}}
が成り立つとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{x},\bar{y})}
を関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\, }
の 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{R}^{n}\times{\mathbf{R}^m}}
上での鞍点 (saddle point) と呼ぶ．(4) により，
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(iii)}} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{inf}_{x}\,[\,\mbox{sup}_{y}L(x,y)\,] \ge\mbox{sup}_{y}\,[\,\mbox{inf}_{x}L(x,y)\,]=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(iv)}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle varphi{(\bar{x})}=\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}=\psi{(\bar{y})} \Longleftrightarrow (\bar{x},\bar{y})}
が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\,}
の鞍点
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Longleftrightarrow \mbox{min}_{x}\mbox{sup}_{y}L(x,y)=\mbox{max}_{y}\mbox{inf}_{x}L(x,y) \Longleftrightarrow \varphi{(\bar{x})}=L(\bar{x},\bar{y})=\psi{(\bar{y})}}
が成立する．(iv) を鞍点定理 (saddle point theorem) と呼ぶ．非線形計画問題
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(NLP)} \; \; \mbox{min.} \ f_{0}(x) \quad \mbox{s. t.} \; \; g_{i}(x)\le{0} \ (i=1,\ldots, k), \; \; h_{j}(x)=0 \ (j=1,\ldots,l),}
(ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_0,g_i,h_j}
は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{R}^n}
で定義された実数値関数，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k+l=m}
) に対して，
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{array}{lll} F(x) &:= & (g_{1}(x),\ldots,g_{k}(x),h_{1}(x),\ldots,h_{l}(x))^{\top}\\ \theta(w) &:= & \sup_{\lambda,\mu}\{\lambda^{\top}w_{1}+\mu^{\top}w_{2}\,|\, (\lambda,\mu)\in{\mathbf{R}^{k}_{+}\times{\mathbf{R}^{l}}},w=(w_1,w_2)^{\top}\}\\ f(x,u) &:= & f_{0}(x)+\theta{(F(x)+u)} \end{array} }
とおくと，(3) により構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L(x,y)=f_{0}(x)+y^{T}F(x)-\theta^{*}(y)}
となり，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y=(\lambda,\mu)=(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k},\mu_{1},\ldots,\mu_{l}) \in{\mathbf{R}^{k}_{+}\times{\mathbf{R}^{l}}}}
に対する問題(NLP)のラグランジュ関数は
- 構文解析に失敗 (不明な関数「\begin{equation}」): {\displaystyle \begin{equation} L(x,\lambda,\mu)=f_{0}(x)+\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}g_{i}(x) +\sum_{j=1}^{l}\mu_{j}h_{j}(x) \end{equation}}
となる．この 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\lambda,\mu)}
をラグランジュ乗数 (Lagrange multipliers) と呼ぶ．このとき，主問題と双対問題は
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{center} \begin{tabular}{cllll} (P_{L}) & min. & \displaystyle \sup_{\lambda\ge{0},\mu} L(x, \lambda, \mu) & s. t. & \displaystyle{x \in {\mathbf{R}^n}}, \\ (D_{L}) & max. & \displaystyle \inf_{x} L(x,\lambda,\mu) & s. t. & \displaystyle{0 \le \lambda \in {\mathbf{R}^{k}}}, \ \displaystyle \mu \in {\mathbf{R}^{l}}, \end{tabular} \end{center} }
となり，一般に問題(D_{L})をラグランジュの双対問題 (Lagrangian dual problem)と呼ぶ．鞍点定理により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\, }
の鞍点 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu})}
が存在すれば，つまり
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \max_{\lambda\ge{0},\mu}L(\bar{x},\lambda,\mu)=L(\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu}) =\min_{x}L(x,\bar{\lambda},\bar{\mu})}
が成立すれば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{x}}
と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{\lambda},\bar{\mu})}
はそれぞれ問題(P)と(D構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle _{L}}
)の最適解となり最適値が一致する．これをラグランジュの双対性 (Lagrangian duality) と呼ぶ．(iv)により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \min_{x}\sup_{y}L(x,y)=\max_{y}\inf_{x}L(x,y)}
が成立すれば，この双対性が保証される．この等式に対する十分条件を述べた定理をミニマックス定理(minimax theorem) と呼ぶ [1]． 逆に，主問題の目的関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_0\, }
と制約関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g_i\, }
がすべて凸で，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h_j\, }
がすべてアフィン関数であるような凸計画問題 (convex programming problem) においては，適当な条件のもとで，問題(P)の最適解 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{x}}
に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{\lambda}\ge{0}}
であるようなラグランジュ乗数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{\lambda},\bar{\mu})}
が存在して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu})}
がラグランジュ関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\, }
の鞍点となる．さらに，次のような拡張ラグランジュ関数(augmented Lagrangian function) に基づく双対性も考えられている [2, 3, 4]．
- 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\}}
ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle r\, }
は正定数，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\bar{\mathbf{R}}}
は に対して 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)}}
を満足する下半連続な真凸関数である．関数 の例としては 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma{(u)}:=\frac{1}{2}\|u\|^{2}}
などがある．
参考文献
[1] I. Ekeland and R. Temam, Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, Amsterdam, 1976.
[2] 福島雅夫,『非線形最適化の基礎』, 朝倉書店, 2001.
[3] 今野浩, 山下浩,『非線形計画法』, 日科技連, 1978.
[4] R.T. Rockafellar and R. J-B. Wets, Variational Analysis, Springer, Berlin, 1998.