共役関数

【きょうやくかんすう (conjugate function)】

真凸関数 $f:\mathbf {R} ^{n}\to (-\infty ,+\infty ]\,$ に対して, 次式で定義される真凸関数 $f^{*}:\mathbf {R} ^{n}\to (-\infty ,+\infty ]\,$ のこと.

$f^{*}(\xi ):=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\{\,\xi ^{\top }x-f(x)\,\}\,$

共役関数 $f^{*}\,$ に対して, さらにその共役関数 $f^{**}\,$ を考えることができるが, $f\,$ が下半連続な真凸関数のときには, $f^{**}\,$ は $f\,$ に一致する. 共役関数は数理計画の双対理論において重要な役割を果たす.