双対性理論

$\int f(x)dx$$\int f(x)dx$【そうついせいりろん (duality theory)】

　双対性理論 (duality theory)は，非線形計画のみならず線形計画，多目的計画，離散凸解析などの分野で主問題とその双対問題の関係，および集合や関数の双対関係を説明する重要な基礎理論である [1, 2, 3, 4]．

　「双対」 (dual) と「共役」 (conjugate) は元々同義語として用いられ，数学の関数解析の分野では，ノルム空間 $X\,$ 上の有界線形汎関数の全体を$X\,$ の双対空間 (dual space) または共役空間 (conjugate space) といい，$X^{*}\,$ と表して，$x\in {X}\,$ における $x^{*}\in {X^{*}}$ の値を$\langle x,x^{*}\rangle$ または $x^{*}(x)$ と書く．$X\,$ が $n\,$ 次元実ユークリッド空間 $\mathbf {R} ^{n}$ の場合は，$(\mathbf {R} ^{n})^{*}$ と $\mathbf {R} ^{n}$ は同一視でき，$(\mathbf {R} ^{n})^{**}=\mathbf {R} ^{n}$ となり，$\langle x,x^{*}\rangle$ は$x\,$ と $x^{*}\,$ の内積 $x^{\top }x^{*}$ となる．以下に述べる事柄は，無限次元空間に対しても拡張できるが，ここでは簡単のため $\mathbf {R} ^{n}$ に限定して説明する．

　空間 $\mathbf {R} ^{n}$ 上で定義された拡張実数値関数 $f:\mathbf {R} ^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ に対して(ただし，${\bar {\mathbf {R} }}=\mathbf {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$)，

$f^{*}(\xi ):=\sup _{x\in {\mathbf {R} ^{n}}}\{\,\xi ^{\top }x-f(x)\,\}$

で定義される関数 $f^{*}\,$ を $f\,$ の共役関数 (conjugate function) という．共役関数 $f^{*}\,$ に対して，さらにその共役関数 $f^{**}=(f^{*})^{*}$ を考えることができるが，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\, } が下半連続な真凸関数のときには，$f^{**}\,$ は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\, } に一致する．$f\,$ に $f^{*}\,$ を対応させる写像をルジャンドル-フェンシェル変換 (Legendre-Fenchel transform) と呼ぶ．

　下半連続な真凸関数 $f:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to {\bar {\mathbf {R} }}$に対して，関数 $\varphi :\mathbf {R} ^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ と $\psi :\mathbf {R} ^{m}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ をそれぞれ $\varphi {(x)}:=f(x,0)$ と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \psi{(y)}:=-f^{*}(0,y)} で定義し，次の問題(P)と(D)を主問題 (primal problem) とその双対問題 (dual problem) と呼ぶ [1, 4]．

${\begin{array}{lll}(P)&\min _{x\in \mathbf {R} ^{n}}&\varphi {(x)}\\(D)&\max _{y\in \mathbf {R} ^{m}}&\psi {(y)}\end{array}}$

また，

$U:=\{u\in {\mathbf {R} ^{m}}\,|\inf _{x\in {\mathbf {R} ^{n}}}f(x,u)<+\infty \}\quad V:=\{v\in {\mathbf {R} ^{n}}\,|\inf _{y\in {\mathbf {R} ^{m}}}f^{*}(v,y)<+\infty \}$

とおくと，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U\, } と $V\,$ は凸集合となる．このとき，以下が成立する．

${\mbox{(i)}}$ ${\mbox{inf}}_{x}\varphi {(x)}\geq {\mbox{sup}}_{y}\psi {(y)}$

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(ii)}} 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0\in{\mbox{int}\,U}\;} または 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \; 0\in{\mbox{int}\,V} \Longrightarrow\mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}}

ここで，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{int}\,U} は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U\, } の内部を表す．(i)を弱双対定理 (weak duality theorem)，(ii)を双対定理 (duality theorem) と呼び，${\mbox{inf}}_{x}\varphi {(x)}={\mbox{sup}}_{y}\psi {(y)}$ が満たされるとき，主問題(P)と双対問題(D)の間に双対性 (duality) が成立するという．(i)により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{sup}_{y}\psi{(y)}=+\infty} なら主問題(P)は実行可能解を持たないが，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -\infty<\varphi{(\bar{x})}=\psi{(\bar{y})}<+\infty} となる 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{x}} と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{y}} が存在すれば，それぞれ(P)と(D)の最適解となり，強い意味の双対性が成立する．一方，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}>\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}} となるとき，主問題と双対問題の間に双対性のギャップ (duality gap) が存在するという．

　主問題(P)において，$f(x,u):=c^{\top }x+k(x)+h(b-Ax+u)$（ただし，$k:\mathbf {R} ^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ と $h:\mathbf {R} ^{m}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ は下半連続な真凸関数で$A\in {\mathbf {R} ^{m\times {n}}}$, $b\in {\mathbf {R} ^{m}}$, $c\in {\mathbf {R} ^{n}}$ ）とすると，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^{*}(v,y)=-b^{\top}y+h^{*}(y)+k^{*}(A^{\top}y-c+v)} となり [4]，主問題(P)と双対問題(D)はそれぞれ

${\begin{array}{llll}{\mbox{min}}_{x\in \mathbf {R} ^{n}}&c^{\top }x+k(x)+h(b-Ax)&&{\mbox{(1)}}\\\\{\mbox{max}}_{y\in \mathbf {R} ^{m}}&b^{\top }y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{\top }y-c)&&{\mbox{(2)}}\end{array}}$

となる．ここで$b\in {\mbox{int}}\,(A{\mbox{dom}}k+{\mbox{dom}}h)$ または$c\in {\mbox{int}}\,(A^{\top }{\mbox{dom}}h^{*}-{\mbox{dom}}k^{*})$ が成立すれば，(ii)により主問題 (1) と双対問題 (2) の間に双対性が成立する．（ただし，dom は拡張実数値関数の実効定義域を表す．）これをフェンシェルの双対性 (Fenchel duality) と呼んでいる．通常は，簡略化して $c\,$ と $b\,$ を零ベクトル，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -A\, } を恒等写像として，新たに構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)\, } を凸関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_1(x):=k(x)} と凹関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_2(x):=-h(x)} の差で表し，主問題 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{min}_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{max}_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}} をフェンシェルの双対問題 (Fenchel dual problem) と呼ぶ．ただし，$f_{2}^{*}(y):={\mbox{inf}}_{x\in {\mathbf {R} ^{n}}}\{y^{\top }x-f_{2}(x)\}$．双対性は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{int}\,(\mbox{dom}f_1)\,\cap\, \mbox{int}\,(\mbox{dom}f_2)\neq\emptyset} のとき成立する．また，$k(x):={\mbox{sup}}_{s\leq {0}}x^{\top }s,h(z):={\mbox{sup}}_{w\geq {0}}z^{\top }w$ とすると，(1) と(2) は線形計画の主問題と双対問題となる [2, 4]．

${\begin{array}{clcll}{\mbox{(P}}_{LP}{\mbox{)}}&{\mbox{min.}}&c^{\top }x&s.t.&x\geq {0},\ Ax\geq {b}.\\{\mbox{(D}}_{LP}{\mbox{)}}&{\mbox{max.}}&b^{\top }y&s.t.&y\geq {0},\ A^{\top }y\leq {c}.\end{array}}$

次に，ラグランジュ関数 (Lagrangian function) を

$L(x,y):=\inf _{u\in {\mathbf {R} ^{m}}}\{\,f(x,u)-y^{\top }u\,\}$　　　　${\mbox{(3)}}$

と定義する．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -L(x,\cdot)=(f(x,\cdot))^{*}, f(x,\cdot)=(-L(x,\cdot))^{*}} が成立しているので，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \varphi{(x)}=\sup_{y}L(x,y), \quad\quad \psi{(y)}=\inf_{x}L(x,y)} 　　　　構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(4)}}

となる．通常，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{inf}_{x}L(x,\bar{y})=L(\bar{x},\bar{y})=\mbox{sup}_{y}L(\bar{x},y)} すなわち，すべての 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\in{\mathbf{R}^n}} と構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y\in{\mathbf{R}^m}} に対して$L(x,{\bar {y}})\geq {L({\bar {x}},{\bar {y}})}\geq {L({\bar {x}},y)}$が成り立つとき，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{x},\bar{y})} を関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\, } の 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{R}^{n}\times{\mathbf{R}^m}} 上での鞍点 (saddle point) と呼ぶ．(4) により，

${\mbox{(iii)}}$ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{inf}_{x}\varphi{(x)}=\mbox{inf}_{x}\,[\,\mbox{sup}_{y}L(x,y)\,] \ge\mbox{sup}_{y}\,[\,\mbox{inf}_{x}L(x,y)\,]=\mbox{sup}_{y}\psi{(y)}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(iv)}} $varphi{({\bar {x}})}={\mbox{inf}}_{x}\varphi {(x)}={\mbox{sup}}_{y}\psi {(y)}=\psi {({\bar {y}})}\Longleftrightarrow ({\bar {x}},{\bar {y}})$ が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\,} の鞍点

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Longleftrightarrow \mbox{min}_{x}\mbox{sup}_{y}L(x,y)=\mbox{max}_{y}\mbox{inf}_{x}L(x,y) \Longleftrightarrow \varphi{(\bar{x})}=L(\bar{x},\bar{y})=\psi{(\bar{y})}}

が成立する．(iv) を鞍点定理 (saddle point theorem) と呼ぶ．非線形計画問題

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{(NLP)} \; \; \mbox{min.} \ f_{0}(x) \quad \mbox{s. t.} \; \; g_{i}(x)\le{0} \ (i=1,\ldots, k), \; \; h_{j}(x)=0 \ (j=1,\ldots,l),}

(ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_0,g_i,h_j} は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{R}^n} で定義された実数値関数，$k+l=m$) に対して，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{array}{lll} F(x) &:= & (g_{1}(x),\ldots,g_{k}(x),h_{1}(x),\ldots,h_{l}(x))^{\top}\\ \theta(w) &:= & \sup_{\lambda,\mu}\{\lambda^{\top}w_{1}+\mu^{\top}w_{2}\,|\, (\lambda,\mu)\in{\mathbf{R}^{k}_{+}\times{\mathbf{R}^{l}}},w=(w_1,w_2)^{\top}\}\\ f(x,u) &:= & f_{0}(x)+\theta{(F(x)+u)} \end{array} }

とおくと，(3) により構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L(x,y)=f_{0}(x)+y^{T}F(x)-\theta^{*}(y)} となり，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y=(\lambda,\mu)=(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k},\mu_{1},\ldots,\mu_{l}) \in{\mathbf{R}^{k}_{+}\times{\mathbf{R}^{l}}}} に対する問題(NLP)のラグランジュ関数は

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{equation} L(x,\lambda,\mu)=f_{0}(x)+\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}g_{i}(x) +\sum_{j=1}^{l}\mu_{j}h_{j}(x) \end{equation}}

となる．この 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\lambda,\mu)} をラグランジュ乗数 (Lagrange multipliers) と呼ぶ．このとき，主問題と双対問題は

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{center} \begin{tabular}{cllll} (P_{L}) & min. & \displaystyle \sup_{\lambda\ge{0},\mu} L(x, \lambda, \mu) & s. t. & \displaystyle{x \in {\mathbf{R}^n}}, \\ (D_{L}) & max. & \displaystyle \inf_{x} L(x,\lambda,\mu) & s. t. & \displaystyle{0 \le \lambda \in {\mathbf{R}^{k}}}, \ \displaystyle \mu \in {\mathbf{R}^{l}}, \end{tabular} \end{center} }

となり，一般に問題(D_{L})をラグランジュの双対問題 (Lagrangian dual problem)と呼ぶ．鞍点定理により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\, } の鞍点 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu})} が存在すれば，つまり

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \max_{\lambda\ge{0},\mu}L(\bar{x},\lambda,\mu)=L(\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu}) =\min_{x}L(x,\bar{\lambda},\bar{\mu})}

が成立すれば，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{x}} と $({\bar {\lambda }},{\bar {\mu }})$ はそれぞれ問題(P$_{L}$)と(D構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle _{L}} )の最適解となり最適値が一致する．これをラグランジュの双対性 (Lagrangian duality) と呼ぶ．(iv)により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \min_{x}\sup_{y}L(x,y)=\max_{y}\inf_{x}L(x,y)} が成立すれば，この双対性が保証される．この等式に対する十分条件を述べた定理をミニマックス定理(minimax theorem) と呼ぶ [1]． 逆に，主問題の目的関数 $f_{0}\,$ と制約関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g_i\, } がすべて凸で，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h_j\, } がすべてアフィン関数であるような凸計画問題 (convex programming problem) においては，適当な条件のもとで，問題(P構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle _{L}} )の最適解 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{x}} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{\lambda}\ge{0}} であるようなラグランジュ乗数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{\lambda},\bar{\mu})} が存在して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu})} がラグランジュ関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\, } の鞍点となる．さらに，次のような拡張ラグランジュ関数(augmented Lagrangian function) に基づく双対性も考えられている [2, 3, 4]．

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\}}

ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle r\, } は正定数，$\sigma :\mathbf {R} ^{m}\rightarrow {\bar {\mathbf {R} }}$ は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u\neq{0}} に対して 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)}} を満足する下半連続な真凸関数である．関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma} の例としては $\sigma {(u)}:={\frac {1}{2}}\|u\|^{2}$ などがある．

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参考文献

[1] I. Ekeland and R. Temam, Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, Amsterdam, 1976.

[2] 福島雅夫,『非線形最適化の基礎』, 朝倉書店, 2001.

[3] 今野浩, 山下浩,『非線形計画法』, 日科技連, 1978.

[4] R.T. Rockafellar and R. J-B. Wets, Variational Analysis, Springer, Berlin, 1998.