《モンテカルロ法》

【もんてかるろほう (Monte Carlo method) 】

　システムの特性値などを推定するために, 適当なモデルと乱数を使って実験し, 大数の法則や中心極限定理などを利用して推測を行う方法のこと. システムに確率的な変動が内在する場合だけでなく, 確定的な問題を解くためにも使われる.

　モンテカルロ法の原理を簡単な例で示そう. 推定したい特性値を $\theta \,$とし, これは既知の分布関数 $F(y)\,$を持つ確率変数 $Y\,$の関数 $g(Y)\,$の平均値に等しいものとすれば,

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \theta = E[g(Y)]=\int_{-\infty}^\infty g(y)\mathrm{d}F(y) = \int_0^1 h(u) \mathrm{d}u, \, }

と書ける. ただし, $h(u)=g(F^{-1}(u))\,$である. そこで, 区間[0,1]上の一様乱数 $U_{1},U_{2},\cdots ,U_{N}\,$を発生し, 算術平均

$A_{1}(N)=\sum _{i=1}^{N}h(U_{i})/N\,$

を$\theta \,$の推定値とすることが考えられる. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A_1(N) \,} は$\theta \,$の不偏推定量であり, 分散は

$V(A_{1}(N))={\frac {\sigma ^{2}}{N}},\ \ \ \ \ \sigma ^{2}=\int _{0}^{1}h^{2}(x)\mathrm {d} x-\theta ^{2}\,$

となる. したがって, 推定量 $A_{1}(N)\,$に含まれる誤差の標準偏差は $\sigma /{\sqrt {N}}\,$であり, 精度を十進で1桁上げるためには, サンプル数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle N \,} を100倍に増やさなければならない. このように, モンテカルロ法の収束は遅いので, これを改善するための方法が種々提案されており, 分散減少法と総称されている. ただし, これらは $1/{\sqrt {N}}\,$というオーダーを改善するものではなく, 比例係数を小さくするための工夫である.

［重点サンプリング］

　積分区間から一様にサンプルをとるのではなく, 重要と考えられる部分(構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x) \,} の絶対値が大きい部分)により多くの重みをおく密度関数$w(x)\,$に従う乱数$X_{1},\cdots ,\ \ X_{N}\,$を発生し,

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A_2(N) = \frac 1 N \sum_{i=1}^N \frac{h(X_i)}{w(X_i)} \, }

で$\theta \,$を推定する. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle w(x) \,} が構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left| h(x) \right| \,} に比例するように選べれば分散は最小となるので, なるべくそれに近くなるように工夫する.

［制御変量法］

　構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \theta \,} に対するひとつの不偏推定量を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y \,} とする. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y \,} と相関があって平均値$\zeta \,$が既知の確率変数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z \,} のことを, $Y\,$の制御変量という. 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha \,} を定数として

$Y_{\alpha }=Y-\alpha (Z-\zeta )\,$

と定義すれば, $Y_{\alpha }\,$も構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \theta \,} の不偏推定量となり, その分散は$\alpha ^{*}=\mathrm {Cov} (Y,Z)/V(Z)\,$のとき最小となり, 最小値は

$V(Y_{\alpha ^{*}})=(1-\rho ^{2})V(Y)\,$

である. ここで構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho \,} は$Y\,$と$Z\,$の相関係数であるから, $Y\,$と相関の強い制御変量を選ぶほど効果的である.

　定積分の例では, $h(u)\,$に近い関数$h_{0}(u)\,$で, その積分の値$\zeta \,$が正確に計算できるものを選び,

$Y_{\alpha }=h(u)-\alpha (h_{0}(u)-\zeta )\,$

に対して単純な一様サンプリングを適用する.

［負相関変量法］

　$\theta \,$の不偏推定量$Y\,$と平均値が同じで負の相関を持つ変量$Z\,$を利用して, $W=(Y+Z)/2\,$を$\theta \,$の推定量とする. この分散は, $Y\,$に対して2回独立にサンプルをとって平均する場合の分散より小さくなる. 定積分の例では, もし$h(u)\,$が単調な関数ならば, $Y=h(U),\;\;\;Z=h(1-U)\,$とするとよい.

［共通乱数法］

　二つの特性値$\theta ,\phi \,$をそれぞれ確率変数$X,Y\,$に関するモンテカルロ実験によって推定し, 比較したいものとし, $\theta =E[X],\phi =E[Y]\,$とする.

$V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2\mathrm {Cov} (X,Y)\,$

であるから, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle {\mathrm{Cov}}(X,Y) \,} が大きいほど推定の精度が良くなる. $X\,$と$Y\,$の分布関数をそれぞれ構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F,G \,} とし, $X\,$と$Y\,$を逆関数法で作るものとする. このとき, $X\,$と$Y\,$用に別々の一様乱数列を使う代りに, ひとつの乱数列構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \{U\} \,} を使って, $X=F^{-1}(U),Y=G^{-1}(U)\,$とすれば, $\mathrm {Cov} (X,Y)\,$が最大となる. これが共通乱数法の原理である.

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参考文献

[1] 伏見正則, 『確率的方法とシミュレーション』(岩波講座 応用数学), 岩波書店, 1994.

[2] G. S. Fishman, Monte Carlo-Concepts, Algorithms, and Applications, Springer, 1996.

[3] A. M. Law and W. D. Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 2nd. ed., McGraw-Hill, 1991.