エルゴード定理

【えるごーどていり (ergodic theorem)】

定常な離散時間確率過程 $\{X_{n}\}\,$が有限な平均値をもつならば, 確率1で

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\mbox{E}}(X_{1}|{\mathcal {G}})\,$

が成り立つ. ここで, ${\mathcal {G}}\,$は $\{X_{n}\}\,$ のずらしに関する不変事象の $\sigma \,$-集合体である. この結果を, (離散時間)エルゴード定理と呼ぶ. 特に、 $\{X_{n}\}\,$ がエルゴード的ならば右辺は ${\mbox{E}}(X_{1})\,$ となる。連続時間確率過程についても同様である。