「作用素分割法」の版間の差分

2008年11月9日 (日) 18:04時点における最新版

【さようそぶんかつほう (operator splitting method)】

写像 $F:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\,$ と凸集合 $S\subseteq \mathbf {R} ^{n}\,$ により定義される変分不等式問題

${\mbox{find}}\quad x\in S\quad {\mbox{s.t.}}\quad (z-x)^{\top }F(x)\geq 0,\quad \forall \,z\in S,\,$

に対する反復法. 条件 $F=G+H\,$ を満たす写像 $G\,$ , $H\,$ を選び, 変分不等式

$(z-x)^{\top }\left\{G(x)+H(x^{(k)})\right\}\geq 0,\quad \forall \,z\in S,\,$

の解を $x^{(k+1)}\,$ とおいて点列 $\{x^{(k)}\}\,$ を生成する. 特に, 写像 $G\,$ が分離可能な構造をもつとき, 大規模問題に対する効率的な並列アルゴリズムが得られる.

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 写像 <math>F: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n} \,</math> と凸集合 <math>S \subseteq \mathbf{R}^{n} \,</math> により定義される変分不等式問題
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 <math>
    \mbox{find} \quad x \in S     \quad \mbox{s.t.} \quad
    ( z - x )^{\top} F(x) \geq 0, \quad \forall \, z \in S,
 \,</math>
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 に対する反復法. 条件 <math>F = G + H \,</math> を満たす写像 <math>G \,</math>, <math>H \,</math> を選び, 変分不等式
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 <math>
    ( z - x )^{\top} \left\{ G(x) + H( x^{(k)} ) \right\} \geq 0,
    \quad \forall \, z \in S,
 \,</math>
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 の解を <math>x^{(k+1)} \,</math> とおいて点列 <math>\{ x^{(k)} \} \,</math> を生成する. 特に, 写像 <math>G \,</math> が分離可能な構造をもつとき, 大規模問題に対する効率的な並列アルゴリズムが得られる.
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