「《積形式解ネットワークとなるための条件》」の版間の差分

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'''【まちぎょうれつねっとわーくのせきけいしきかいとまるこふかてい (product form solution of queueing network and Markov process) 】'''
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'''【せきけいしきねっとわーくとなるためのじょうけん (product form solution of queueing network and Markov process) 】'''
  
 [[待ち行列ネットワーク]]の特性を調べる上で, 定常分布を求めることは重要であるが一般には難しい. しかし, [[ジャクソン]]や[[BCMP]]ネットワークのように定常分布が解析的に得られる場合がある. 特に, これらのネットワークは[[積形式]]の定常分布を持つ. このようなネットワークを一般に[[積形式ネットワーク]] (product form network) と呼ぶ. この他, [[集団移動型ネットワーク]] (batch movement network) などで, 特殊なサービス規律を適用すると定常分布が解析的に得られる場合がある. なぜこれらのネットワークでは定常分布が解析的に得られるのであろうか? 一般的なモデルを対象にその理由を説明する.
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 [[待ち行列ネットワーク]]の定常分布が解析的に求められるのは,[[ジャクソンネットワーク|ジャクソン]]や[[BCMPネットワーク|BCMP]]ネットワークのように[[定常状態確率|定常分布]]が各ノードの周辺分布の積として表されるとなる場合と,[[集団移動型ネットワーク|集団移動型]]ネットワーク(batch movement network)などで,特殊な[[サービス規律|サービス規律]]を適用した場合などに限られている.後者の場合も定常分布形がある種の積表現をもつので,これらのネットワークを[[積形式ネットワーク]] (product form network)と総称することが多い.マルコフ連鎖(またはマルコフ過程)により表すことができる一般的な待ち行列ネットワークに対して,このような積形式ネットワークとなるための条件が知られている.これらの条件は一般的なマルコフ連鎖の定常分布を求める際にも役立てることができる.
 
 
 
 
'''マルコフ過程による記述''' ネットワークをマルコフ過程によりモデル化する. このマルコフ過程には次の2つのタイプがある.
 
  
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'''マルコフ過程による記述''' 待ち行列ネットワークは[[マルコフ過程]]によりモデル化することができる. このマルコフ過程には次の2つのタイプがある.
  
 
1. 各ノードの客数を主な状態とし, サービス中の客のサービス経過時間などを補助変数とするマルコフ過程で, 代表的なものに[[一般化セミマルコフ過程]] (generalized semi-Markov process, GSMPと略称化される) がある.  
 
1. 各ノードの客数を主な状態とし, サービス中の客のサービス経過時間などを補助変数とするマルコフ過程で, 代表的なものに[[一般化セミマルコフ過程]] (generalized semi-Markov process, GSMPと略称化される) がある.  
  
2. サービス時間と到着間隔の分布を指数分布と仮定したり, 1の補助変数の部分を相型分布などを使って離散化することにより, 離散的状態を持つマルコフ過程, すなわち, マルコフ連鎖としてモデル化する.  
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2. サービス時間と到着間隔の分布を指数分布と仮定したり, 1の補助変数の部分を[[相型分布]]などを使って離散化することにより, 離散的状態を持つマルコフ過程, すなわち, [[マルコフ連鎖]]としてモデル化する.  
  
 1のモデルは2のモデルで十分に近似することができるので, 以下では2のモデルを使う. 一般に待ち行列ネットワークをマルコフ連鎖で表すには, その[[推移率関数]]を次の要素に分けると見通しがよい.  
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 1のモデルは2のモデルで十分に近似することができるので, 以下では2のモデルを使う. 一般に待ち行列ネットワークをマルコフ連鎖で表すには, その[[推移速度行列|推移率関数]]を次の要素に分けると見通しがよい.  
  
:*[[内部推移率]]:ノードの内部的な変化 (サービスの進行など) を表す部分
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:*[[内部推移|内部推移率]]:ノードの内部的な変化 (サービスの進行など) を表す部分
  
 
:*退去推移率:退去とそのときの状態変化を表す部分
 
:*退去推移率:退去とそのときの状態変化を表す部分
  
:*[[経路選択確率]]:退去から次のノードへの到着を表す部分
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:*[[経路選択確率]](または転送確率):退去から次のノードへの到着を表す部分
 
 
:*到着推移確率:到着による状態変化を条件付き確率で表す部分
 
  
 例えば, $M$個のノードを持つ[[開放型ネットワーク]]で, 複数のクラスの客があり, 各客はサービス完了後のクラスとノードにのみに依存した確率で次のノードとクラスを選択するとする. なお, 各ノードには, $1, 2, \ldots$と番号のついたサービス位置があり, $n$人の客がいるときには, $1, 2, \ldots, n$のサービス位置を占める. ノード$j$での各サービス位置の客のクラスとサービスの経過状態からなるベクトルを$\mbox{\boldmath $x$}_j$とすれば, ネットワークの状態は$ \mbox{\boldmath $x$} = (\mbox{\boldmath $x$}_1, \mbox{\boldmath $x$}_2, \ldots, \mbox{\boldmath $x$}_M) $と表すことができる. このネットワークはジャクソンや BCMPネットワークを一般化したモデルである.
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:*到着推移確率:[[到着]]による状態変化を条件付き確率で表す部分
  
 このネットワークで, ノード$j$にいるクラス$u$の客の退去推移率を $q_{ju}^{\mbox{\scriptsize \sc d}}$, その客が退去後ノード$k$へクラス$v$の客として到着する経路選択確率を $r_{ju, kv}$, ノード$k$での到着推移確率を $p_{kv}^{\mbox{\scriptsize \sc a}}$ とする. この場合のサービス完了から到着までを表す推移は, ノード$j, k$の状態が$\mbox{\boldmath $x$}_j, \mbox{\boldmath $x$}_k$ から $\mbox{\boldmath $x$}_j', \mbox{\boldmath $x$}_k'$ へ変わったとすると,  
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'''独立サービス・確率的経路選択ネットワーク''' <math>1\, </math>から<math>N\, </math>までの番号がついた<math>N\, </math>個のノードを持つ[[開放型ネットワーク]]をマルコフ連鎖によりモデル化する.ただし,複数のクラスの客があり,各客はサービス完了後のクラスとノードにのみ依存した確率で次のノードとクラスを[[確率的経路選択|選択]]するとする.なお,各ノードには,<math>1, 2, \ldots\, </math>と番号のついたサービス位置があり,<math>n\, </math>人の客がいるときには,<math>1, 2, \ldots, n\, </math>のサービス位置を占める.ノード<math>j\, </math>での各サービス位置の客のクラスとサービスの経過時間を表す状態からなるベクトルを<math>\boldsymbol{x}_j\, </math>とする.このとき,ネットワークの状態を<math>\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N)\, </math>により表す.
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 このネットワークで, ノード<math>j\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客の退去推移率を <math>q_{ju}^{\rm{D}}\, </math>, その客が退去後ノード<math>k\, </math>へクラス<math>v\, </math>の客として到着する経路選択確率を <math>r_{ju, kv}\, </math>, ノード<math>k\, </math>での到着推移確率を <math>p_{kv}^{\rm{A}}\, </math> とする. この場合のサービス完了から到着までを表す推移は, ノード<math>j, k\, </math>の状態が<math>\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_k\, </math> から <math>\boldsymbol{x}_j', \boldsymbol{x}_k'\, </math> へ変わったとすると,  
  
  
:<math>
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   q_{ju}^{\mbox{D}}
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   q_{ju}^{\rm{D}}
 
   (\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_j')
 
   (\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_j')
   \, r_{ju, kv} \, p_{kv}^{\mbox{A}}
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   \, r_{ju, kv} \, p_{kv}^{\rm{A}}
 
   (\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{x}_k')  
 
   (\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{x}_k')  
</math>
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\, </math>
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</center>
  
  
である. なお, 開放型の場合は, 外部をノード$0$とみなし, ネットワーク状態に取り入れる. ただし, 外部からの到着がポアソン過程に従うならば, ノード$0$からの退去率$q_{0u}^{\mbox{\scriptsize \sc d}}(\mbox{\boldmath$x$}_0, \mbox{\boldmath$x$}_0')$は各$u$に対して定数であり, ノード$0$の状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. ネットワーク全体の推移率$q$は, このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和である([6]参照).  
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である. なお, 開放型の場合は, 外部をノード<math>0\, </math>とみなし, ネットワーク状態に取り入れる. ただし, 外部からの到着がポアソン過程に従うならば, ノード<math>0\, </math>からの退去率<math>q_{0u}^{\rm{D}}
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  (\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_0')\, </math>は各<math>u\, </math>に対して定数であり, ノード<math>0\, </math>の状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和をネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>とすると, <math>q\, </math>はネットワークモデルを表すマルコフ連鎖の推移率である([5]参照).  
  
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 このネットワークモデルでは,サービスが各ノードごとに独立に行われ,経路選択もネットワークの状態とは独立に確率的に行われるので,独立サービス・確率的経路選択ネットワークと呼ぶ.このモデルは,ジャクソン,BCMPやケリーネットワークにおいて,到着過程,サービス方法,サービス時間分布などを一般化したものである.この一般モデルにおいて定常分布が積形式となる条件が得られている([1]参照).
  
'''局所平衡''' BCMPや[[ケリー]]ネットワークの特徴は, この推移率$q$の定常分布$\pi$が次の[[局所平衡方程式]] (local balance equation)を満たすことにある [4]. サービスを受ける位置に番号をつけ, 位置$\ell$にいるクラス$u$の客を$(\ell, u)$とするとき,  
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'''準可逆性''' 多くの積形式ネットワークでは, 各ノードを切り離し客をポアソン到着させると退去もまたポアソン過程となる. これを[[準可逆性]] (quasi-reversibility)と呼ぶ. ノード<math>j\, </math>の準可逆性は, 切り離してポアソン入力した場合の定常分布を<math>\pi_j\, </math>とすれば, 各クラス<math>u\, </math>に対して,  
  
  
:<math>
+
<center>
\pi(\boldsymbol{x}) ( </math> 状態 <math> \boldsymbol{x} </math> で <math> (\ell, u) </math>の客がノード <math> j </math> でサービスを完了する率 <math> \ )  
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</math>
+
\ (
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\, </math>クラス <math> u \, </math> の退去が起こり状態が <math> \boldsymbol{x}_j \, </math> となる率 <math> \ )
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= \beta_{ju}\ \pi_j(\boldsymbol{x}_j)
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\, </math>
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</center>
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となる定数<math>\beta_{ju}\, </math>が存在することに等しい. 独立サービス・独立経路選択ネットワークにおいて,終端ノードを除きすべてのノードが準可逆であり,外部からの到着がポアソン過程に従うならば,定常分布は積形式となる.ここに,終端ノードとは退去客が外部へのみ退去するノードである.この結果の逆は必ずしも言えないが,客の種類が1つでサービス中や待っている客が途中で退去しないならば,準可逆性は必要条件でもある[1]).
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'''局所平衡式''' BCMPや[[ケリーネットワーク|ケリー]]ネットワークのもう1つの特徴はネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>の定常分布<math>\pi\, </math>が次の[[局所平衡方程式]] (local balance equation)を満たすことにある[3].サービスを受ける位置に番号をつけ, <math>\ell\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客を<math>(\ell, u)\, </math>とするとき,
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<math>
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\pi(\boldsymbol{x}) ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x} \, </math> で <math> (\ell, u) \, </math>の客がノード <math> j \, </math> でサービスを完了する率 <math> \ )  
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\, </math>
  
 
::<math>
 
::<math>
\qquad = \sum_{\boldsymbol{x}'} \pi(\boldsymbol{x}') ( </math> 状態 <math> \boldsymbol{x}' </math>でサービスの完了または到着があり,  
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\qquad = \sum_{\boldsymbol{x}'} \pi(\boldsymbol{x}') ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x}' \, </math>でサービスの完了または到着があり,  
  
::::<math> \ \ \ (\ell, u) </math> の客がノード <math> j </math>に到着し状態が <math> \boldsymbol{x} </math> となる率 <math> \ ) </math>
+
::::<math> \ \ \ (\ell, u) \, </math> の客がノード <math> j \, </math>に到着し状態が <math> \boldsymbol{x} \, </math> となる率 <math> \ ) \, </math>
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</center>
  
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逆に, サービス時間分布が一般の場合にこの方程式が成り立つならば, サービス規律は[[対称型サービス規律|対称型]] である [1]. さらに, 内部推移についても同様な局所平衡方程式が成り立ち, すべての局所平衡方程式を加えると[[大域平衡方程式]] (global balance equation)が得られる. これより, <math>\pi\, </math>が局所平衡方程式を満たせば, 定常分布であることが確認できる. この局所平衡方程式は, 客の残りサービス時間や経過サービス時間が客の配置と独立であることと同値である. 積形式に加えこの独立性が成り立つとき[[2重積形式]] (double product form)を持つという.
  
逆に, サービス時間分布が一般の場合にこの方程式が成り立つならば, サービス規律は[[対称型]] である [1]. さらに, 内部推移についても同様な局所平衡方程式が成り立ち, すべての局所平衡方程式を加えると[[大域平衡方程式]] (global balance equation)が得られる. これより, $\pi$が局所平衡方程式を満たせば, 定常分布であることが確認できる. この局所平衡方程式は, 客の残りサービス時間や経過サービス時間が客の配置と独立であることと同値である. 積形式に加えこの独立性が成り立つとき'''2重積形式''' (double product form)を持つという.
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'''逆時間過程''' 局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない.例えば,到着により客が減る[[負の客]] (negative customer) や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するシグナルネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない[1].この種のネットワークの解析には,時間を逆転した確率過程すなわち[[逆過程]] (reversed process)が有効である.一般に[[定常過程|定常]]なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから,逆過程の推移率を推測できれば,定常分布<math>\pi\, </math>が求められる([5]参照).逆時間過程は積形式解をもつネットワークを探したり,積形式となることの証明を行う際にも役立つ.
  
 局所平衡方程式は, 複数のノードで同時に退去や到着が起こる集団移動型のモデルの解析においても役立つ. このネットワークの状態$\mbox{\boldmath $x$}$は各ノードの客数を要素とするベクトルであり, 集団をベクトル$\mbox{\boldmath $u$} = (u_1, u_2, \ldots, u_M)$で表すとき, $\mbox{\boldmath $u$}$の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる. この集団$\mbox{\boldmath $u$}$が集団$\mbox{\boldmath $v$}$となって到着する確率を$r_{\mbox{\footnotesize\boldmath $u$}\mbox{\footnotesize\boldmath $v$}}$とする. このモデルで, 局所平衡方程式
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'''集団移動型ネットワーク''' 複数のノードで同時に到着やサービスがあるネットワークを集団移動型ネットワークモデルと呼ぶ.集団移動型では,一般に状態推移がネットワークの状態全体<math>\boldsymbol{x}\, </math>に依存する.ただし,サービス時間は考えずにネットワークの状態に依存した率で退去が発生するとする.すなわち,集団をベクトル<math>\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_N)\, </math>で表すとき,<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる.この集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>が集団<math>\boldsymbol{v}\, </math>となって到着する確率を<math>r_\boldsymbol{uv}\,(x) </math>とする.  
  
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 一般に,集団移動型ネットワークの定常分布を求めることは困難である.そこで,理想的な条件を仮定して定常分布が得られるモデルを探す.例えば,局所平衡方程式
  
:<math>
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\pi(\boldsymbol{x}) ( </math> 状態 <math> \boldsymbol{x} </math> で <math> \boldsymbol{u} </math> が退去する率 <math> \ )  
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</math>
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\pi(\boldsymbol{x}) ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x} \, </math> で <math> \boldsymbol{u} \, </math> が退去する率 <math> \ )  
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\, </math>
  
 
::<math>
 
::<math>
 
\quad = \sum_{\boldsymbol{x}', \boldsymbol{v}} \pi(\boldsymbol{x}')
 
\quad = \sum_{\boldsymbol{x}', \boldsymbol{v}} \pi(\boldsymbol{x}')
  ( </math> 状態 <math> \boldsymbol{x}' </math> で <math> \boldsymbol{v} </math> が退去し, <math>  
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  ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x}' \, </math> で <math> \boldsymbol{v} \, </math> が退去し, <math>  
\boldsymbol{u} </math> が到着し状態が <math> \boldsymbol{x} </math> となる率 <math> \ )
+
\boldsymbol{u} \, </math> が到着し状態が <math> \boldsymbol{x} \, </math> となる率 <math> \ )
</math>
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\, </math>
 
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が, 任意の状態$\mbox{\boldmath $x$}$とすべて集団$\mbox{\boldmath $u$}$について成り立つならば. 定常分布$\pi$を求めることができる [1]. 例えば, 推移行列$\{r_{\mbox{\footnotesize\boldmath $u$}\mbox{\footnotesize\boldmath $v$}}\}$が定常分布$\nu$を持ち, 任意に与えた正値関数$\Phi$と非負値関数$\Psi$に対して, 状態$\mbox{\boldmath $x$}$での$\mbox{\boldmath $u$}$の退去率が
 
  
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が, 任意の状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>とすべて集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>について成り立つならば. 定常分布<math>\pi\, </math>を求めることができる [1]. 特に推移行列{<math>r_\boldsymbol{uv}\, (x)</math>}が<math>\boldsymbol{x}\, </math>に依存しない定常分布<math>\nu\, </math>を持ち,任意に与えた正値関数<math>\Phi\, </math>と非負値関数<math>\Psi\, </math>に対して,状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>での<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去率が
  
:<math>
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\frac {\Psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{u})}{\Phi(\boldsymbol{x})} \nu(\boldsymbol{u})
 
\frac {\Psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{u})}{\Phi(\boldsymbol{x})} \nu(\boldsymbol{u})
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\, </math>
 
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</center>
 
 
であるならば, 局所平衡方程式が成り立ち, 定常確率$\pi(\mbox{\boldmath $x$})$は$\Phi(\mbox{\boldmath $x$})$に比例する [3]. このネットワークはWalrand [5] の離散時間同期型ネットワークや[[回線交換網]]などを特別な場合として含む. この種のネットワークは, 転送確率$r_{\mbox{\footnotesize\boldmath $u$}\mbox{\footnotesize\boldmath $v$}}$がネットワークの状態に依存する場合にも拡張されている [1]}.
 
 
 
 
 
'''逆時間過程''' 局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない. 例えば, 到着により客が減る[[負の客]] (negative customer) [2] や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない [1]. この種のネットワークの解析には, 時間を逆転した確率過程すなわち[[逆過程]]} (reversed process)が有効である. 一般に定常なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから, 逆過程の推移率を推測できれば, 定常分布$\pi$が求められる([6] 参照).
 
 
 
 
 
'''準可逆性''' 多くの積形式ネットワークでは, 各ノードを切り離し客をポアソン到着させると退去もまたポアソン過程となる. これを[[準可逆性]] (quasi-reversibility)と呼ぶ. ノード$j$の準可逆性は, 切り離してポアソン入力した場合の定常分布を$\pi_j$とすれば, 各クラス$u$に対して,
 
 
 
 
 
:<math>
 
\ (
 
</math>クラス <math> u </math> の退去が起こり状態が <math> \boldsymbol{x}_j </math> となる率 <math> \ )
 
= \beta_{ju}\ \pi_j(\boldsymbol{x}_j)
 
</math>
 
 
 
  
となる定数$\beta_{ju}$が存在することに等しい. 逆に準可逆性を持つノードをネットワーク状態に独立な確率的経路選択で結合すると積形式ネットワークとなる. 準可逆性を使った積形式ネットワークの構成は負の客のあるネットワークに対しても有効である. しかし, 準可逆性は積形式を持つための必要十分条件ではない(客のみを持つネットワークでは必要十分条件となる [1]). なお, 準可逆性を持つネットワークを定常分布が得られるように退去率や到着確率をネットワーク全体の状態に依存する形に拡張する方法も工夫されている[1]
 
  
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であるならば, 局所平衡方程式が成り立ち, 定常確率<math>\pi(\boldsymbol{x})\, </math>は<math>\Phi(\boldsymbol{x})\, </math>に比例する [2]. このネットワークはWalrand [4] の離散時間同期型ネットワークや[[回線交換網]]などを特別な場合として含む[1].
  
  
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[1] X. Chao, M. Miyazawa and M. Pinedo, ''Queueing Networks, Customers, Signals and Product form'', John Wiley & Sons, 1999.  
 
[1] X. Chao, M. Miyazawa and M. Pinedo, ''Queueing Networks, Customers, Signals and Product form'', John Wiley & Sons, 1999.  
  
[2] E. Gelenbe, "Product-form Queueing Networks with Negative and Positive Customers" ''Journal of Applied Probability'', '''28''' (1991), 656-663.  
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[2] W. Henderson and P. G. Taylor, "Product Form in Networks of Queues with Batch Arrivals and Batch Services," ''Queueing Systems'', '''6''' (1990), 71-88.  
  
[3] W. Henderson and P. G. Taylor, "Product Form in Networks of Queues with Batch Arrivals and Batch Services," ''Queueing Systems'', '''6''' (1990), 71-88.  
+
[3] F. P. Kelly, ''Reversibility and Stochastic Networks'', John Wiley & Sons, 1979.  
  
[4] F. P. Kelly, ''Reversibility and Stochastic Networks'', John Wiley & Sons, 1979.  
+
[4] J. Walrand, "A Discrete-time Queueing Network," ''Journal of Applied Probability'', '''20''' (1983), 903-909.  
  
[5] J. Walrand, "A Discrete-time Queueing Network," ''Journal of Applied Probability'', '''20''' (1983), 903-909.  
+
[5] 宮沢政清, 「待ち行列ネットワークと積形式解」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 442-448.
  
[6] 宮沢政清, 「待ち行列ネットワークと積形式解」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 442-448.
+
[[category:待ち行列ネットワーク|せきけいしきねっとわーくとなるためのじょうけん]]

2008年8月5日 (火) 12:05時点における最新版

【せきけいしきねっとわーくとなるためのじょうけん (product form solution of queueing network and Markov process) 】

 待ち行列ネットワークの定常分布が解析的に求められるのは,ジャクソンBCMPネットワークのように定常分布が各ノードの周辺分布の積として表されるとなる場合と,集団移動型ネットワーク(batch movement network)などで,特殊なサービス規律を適用した場合などに限られている.後者の場合も定常分布形がある種の積表現をもつので,これらのネットワークを積形式ネットワーク (product form network)と総称することが多い.マルコフ連鎖(またはマルコフ過程)により表すことができる一般的な待ち行列ネットワークに対して,このような積形式ネットワークとなるための条件が知られている.これらの条件は一般的なマルコフ連鎖の定常分布を求める際にも役立てることができる.

マルコフ過程による記述 待ち行列ネットワークはマルコフ過程によりモデル化することができる. このマルコフ過程には次の2つのタイプがある.

1. 各ノードの客数を主な状態とし, サービス中の客のサービス経過時間などを補助変数とするマルコフ過程で, 代表的なものに一般化セミマルコフ過程 (generalized semi-Markov process, GSMPと略称化される) がある.

2. サービス時間と到着間隔の分布を指数分布と仮定したり, 1の補助変数の部分を相型分布などを使って離散化することにより, 離散的状態を持つマルコフ過程, すなわち, マルコフ連鎖としてモデル化する.

 1のモデルは2のモデルで十分に近似することができるので, 以下では2のモデルを使う. 一般に待ち行列ネットワークをマルコフ連鎖で表すには, その推移率関数を次の要素に分けると見通しがよい.

  • 内部推移率:ノードの内部的な変化 (サービスの進行など) を表す部分
  • 退去推移率:退去とそのときの状態変化を表す部分
  • 経路選択確率(または転送確率):退去から次のノードへの到着を表す部分
  • 到着推移確率:到着による状態変化を条件付き確率で表す部分

独立サービス・確率的経路選択ネットワーク からまでの番号がついた個のノードを持つ開放型ネットワークをマルコフ連鎖によりモデル化する.ただし,複数のクラスの客があり,各客はサービス完了後のクラスとノードにのみ依存した確率で次のノードとクラスを選択するとする.なお,各ノードには,と番号のついたサービス位置があり,人の客がいるときには,のサービス位置を占める.ノードでの各サービス位置の客のクラスとサービスの経過時間を表す状態からなるベクトルをとする.このとき,ネットワークの状態をにより表す.  このネットワークで, ノードにいるクラスの客の退去推移率を , その客が退去後ノードへクラスの客として到着する経路選択確率を , ノードでの到着推移確率を とする. この場合のサービス完了から到着までを表す推移は, ノードの状態が から へ変わったとすると,



である. なお, 開放型の場合は, 外部をノードとみなし, ネットワーク状態に取り入れる. ただし, 外部からの到着がポアソン過程に従うならば, ノードからの退去率は各に対して定数であり, ノードの状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和をネットワーク全体の推移率とすると, はネットワークモデルを表すマルコフ連鎖の推移率である([5]参照).

 このネットワークモデルでは,サービスが各ノードごとに独立に行われ,経路選択もネットワークの状態とは独立に確率的に行われるので,独立サービス・確率的経路選択ネットワークと呼ぶ.このモデルは,ジャクソン,BCMPやケリーネットワークにおいて,到着過程,サービス方法,サービス時間分布などを一般化したものである.この一般モデルにおいて定常分布が積形式となる条件が得られている([1]参照).

準可逆性 多くの積形式ネットワークでは, 各ノードを切り離し客をポアソン到着させると退去もまたポアソン過程となる. これを準可逆性 (quasi-reversibility)と呼ぶ. ノードの準可逆性は, 切り離してポアソン入力した場合の定常分布をとすれば, 各クラスに対して,


クラス の退去が起こり状態が となる率


となる定数が存在することに等しい. 独立サービス・独立経路選択ネットワークにおいて,終端ノードを除きすべてのノードが準可逆であり,外部からの到着がポアソン過程に従うならば,定常分布は積形式となる.ここに,終端ノードとは退去客が外部へのみ退去するノードである.この結果の逆は必ずしも言えないが,客の種類が1つでサービス中や待っている客が途中で退去しないならば,準可逆性は必要条件でもある[1]).

局所平衡式 BCMPやケリーネットワークのもう1つの特徴はネットワーク全体の推移率の定常分布が次の局所平衡方程式 (local balance equation)を満たすことにある[3].サービスを受ける位置に番号をつけ, にいるクラスの客をとするとき,

状態 の客がノード でサービスを完了する率

状態 でサービスの完了または到着があり,
の客がノード に到着し状態が となる率

逆に, サービス時間分布が一般の場合にこの方程式が成り立つならば, サービス規律は対称型 である [1]. さらに, 内部推移についても同様な局所平衡方程式が成り立ち, すべての局所平衡方程式を加えると大域平衡方程式 (global balance equation)が得られる. これより, が局所平衡方程式を満たせば, 定常分布であることが確認できる. この局所平衡方程式は, 客の残りサービス時間や経過サービス時間が客の配置と独立であることと同値である. 積形式に加えこの独立性が成り立つとき2重積形式 (double product form)を持つという.

逆時間過程 局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない.例えば,到着により客が減る負の客 (negative customer) や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するシグナルネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない[1].この種のネットワークの解析には,時間を逆転した確率過程すなわち逆過程 (reversed process)が有効である.一般に定常なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから,逆過程の推移率を推測できれば,定常分布が求められる([5]参照).逆時間過程は積形式解をもつネットワークを探したり,積形式となることの証明を行う際にも役立つ.

集団移動型ネットワーク 複数のノードで同時に到着やサービスがあるネットワークを集団移動型ネットワークモデルと呼ぶ.集団移動型では,一般に状態推移がネットワークの状態全体に依存する.ただし,サービス時間は考えずにネットワークの状態に依存した率で退去が発生するとする.すなわち,集団をベクトルで表すとき,の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる.この集団が集団となって到着する確率をとする.

 一般に,集団移動型ネットワークの定常分布を求めることは困難である.そこで,理想的な条件を仮定して定常分布が得られるモデルを探す.例えば,局所平衡方程式

状態 が退去する率

状態 が退去し, が到着し状態が となる率

が, 任意の状態とすべて集団について成り立つならば. 定常分布を求めることができる [1]. 特に推移行列{}がに依存しない定常分布を持ち,任意に与えた正値関数と非負値関数に対して,状態でのの退去率が


であるならば, 局所平衡方程式が成り立ち, 定常確率に比例する [2]. このネットワークはWalrand [4] の離散時間同期型ネットワークや回線交換網などを特別な場合として含む[1].



参考文献

[1] X. Chao, M. Miyazawa and M. Pinedo, Queueing Networks, Customers, Signals and Product form, John Wiley & Sons, 1999.

[2] W. Henderson and P. G. Taylor, "Product Form in Networks of Queues with Batch Arrivals and Batch Services," Queueing Systems, 6 (1990), 71-88.

[3] F. P. Kelly, Reversibility and Stochastic Networks, John Wiley & Sons, 1979.

[4] J. Walrand, "A Discrete-time Queueing Network," Journal of Applied Probability, 20 (1983), 903-909.

[5] 宮沢政清, 「待ち行列ネットワークと積形式解」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 43 (1998), 442-448.