分布の弱収束

【ぶんぷのじゃくしゅうそく (weak convergence of distribution) 】

　$(S,{\mathcal {B}}(S))$を$S$を距離空間とするボレル可測空間とする．この可測空間上の確率分布の列$\mu _{1},\mu _{2},\ldots$と確率分布$\nu$が，$(S,{\mathcal {B}}(S))$上の任意の有界な実数値連続関数$f$に対して，

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f(x)\mu _{n}(dx)=\int _{S}f(x)\nu (dx)$

を満たすとき，$n\to \infty$に対して$\mu _{n}$は$\nu$へ弱収束するという．これは$\mathbf {X} _{n}$を確率分布$\mu _{n}$に従うランダムな変量，$\mathbf {Y}$を確率分布$\nu$に従うランダムな変量とするとき，$(S,{\mathcal {B}}(S))$上の任意の有界な実数値連続関数$f$に対して

$\lim _{n\to \infty }E(f(\mathbf {X} _{n}))=E(f(\mathbf {Y} ))$

が成り立つことに等しい．特に，$S=(-\infty ,+\infty )$ならば，$\mu _{n}$の分布関数$F_{n}(x)$が$\nu$の分布関数$G(x)$に$G$のすべての連続点$x$で収束することに等しい．