分布の弱収束

【ぶんぷのじゃくしゅうそく (weak convergence of distribution) 】

　構文解析に失敗 (不明な関数「\sr」): {\displaystyle (S,\sr{B}(S))} を$S$を距離空間とするボレル可測空間とする．この可測空間上の確率分布の列$\mu _{1},\mu _{2},\ldots$と確率分布$\nu$が，構文解析に失敗 (不明な関数「\sr」): {\displaystyle (S,\sr{B}(S))} 上の任意の有界な実数値連続関数$f$に対して，

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f(x)\mu _{n}(dx)=\int _{S}f(x)\nu (dx)$

を満たすとき，$n\to \infty$に対して$\mu _{n}$は$\nu$へ弱収束するという．これは構文解析に失敗 (不明な関数「\vc」): {\displaystyle \vc{X}_{n}} を確率分布$\mu _{n}$に従うランダムな変量，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vc{Y}} を確率分布$\nu$に従うランダムな変量とするとき，構文解析に失敗 (不明な関数「\sr」): {\displaystyle (S,\sr{B}(S))} 上の任意の有界な実数値連続関数$f$に対して

構文解析に失敗 (不明な関数「\vc」): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} E(f(\vc{X}_{n})) = E(f(\vc{Y}))}

が成り立つことに等しい．特に，$S=(-\infty ,+\infty )$ならば，$\mu _{n}$の分布関数$F_{n}(x)$が$\nu$の分布関数$G(x)$に$G$のすべての連続点$x$で収束することに等しい．