「《大規模AHP》」の版間の差分

2007年8月7日 (火) 17:08時点における最新版

【だいきぼAHP (large scale AHP) 】

　大規模AHP (Large scale AHP)[1]とは, 複数の評価者を想定したAHPのモデルである. 通常のAHPとの違いは, 多数の代替案, 複数の評価者および欠落データを許している点である. つまり, 各評価者は多数の代替案に対し一対比較するのではなく, 相対評価できる代替案のみ一対比較するものである. AHPでは一人の評価者が全一対比較するため, 評価項目（代替案）の数を $n\,$ とすると, 一対比較の回数は $n(n-1)/2\,$ 回となり, 評価項目（代替案）の数が増加すると, 一対比較の回数が爆発的に増加する. 例えば, 評価項目が1階層で, 5個の評価項目の場合, $5\times (5-1)/2=10\,$ 回の一対比較を行う. さらに, 代替案が10個ある場合各評価項目に対し $10\times (10-1)/2=45\,$ 回の一対比較を行う必要がある. 合計すると, 235回の一対比較する必要がある. これは, かなり困難な作業である. 大規模AHPは, 複数の評価者が評価を行うことと欠落データを許すことにより, 1人の評価者が行う一対比較する作業を軽減することができる.

　AHPの重要度ベクトルの導出法には, 固有ベクトル法と幾何平均法(対数最小２乗法）があるが, 対数最小二乗法の考えを大規模な問題に適用した手法が大規模AHPである. AHPでは, 一人の評価者が同一階層の評価項目（代替案）間を全一対比較する必要がある. しかし, 評価項目（代替案）の項目数 $n\,$ が多くなるにつれて, 莫大な労力と時間が必要となる. そこで大規模AHPでは次のような評価方法を提案している.

「各評価者が相対評価できる評価項目（代替案）間のみに一対比較を行い, 一対比較による相対評価を行わない評価項目（代替案）間を許す. 相対評価された評価項目（代替案）間には一対比較値を割り当てる. 」

　大規模AHPでは, 一対比較ネットワークという考えを導入する. 一対比較ネットワークは, 次のように与える. 評価者は $L\,$ 人とし, このとき第 $l\,$ 評価者が一対比較した評価項目（代替案）対の集合を,

K_{l}=\{(i,j)|\,

代替案

i,j(1\leq i<j\leq n)\,

は第

l\,

評価者によって一対比較された.

\}\,

とする. 第 $l\,$ 評価者が評価項目（代替案） $i\,$ に対して, 評価項目(代替案) $j\,$ を一対比較した場合, その一対比較値を $a_{ij}^{l}\,$ とする. いずれかの評価者によって一対比較された評価項目（代替案）対の集合 $K\,$ は, $K=\cup _{l=1}^{L}K_{l}\,$ であり, また, いずれの評価者からも一対比較されなかった評価項目（代替案）対の集合 ${\bar {K}}\,$ は,

{\bar {K}}=\{(i,j)|1\leq i<j\leq n\}\backslash K\,

である. ${\bar {K}}\neq \phi \,$ であれば, 一対比較されなかった評価項目（代替案）の組が存在し, 逆も成り立つ. 大規模AHPでは各評価者が一対比較しない評価項目（代替案）間の存在も許すので, ${\bar {K}}\neq \phi \,$ となる場合もありえる. ここで, ノードの集合を $V=\{1,\ldots ,n\}\,$ , エッジの集合を $E\,$ としたグラフ $G=(V,E)\,$ を一対比較ネットワークと定義する.

　第 $l_{1}\,$ 評価者と第 $l_{2}(\neq l_{1})\,$ 評価者が重複して評価項目（代替案） $i,j(i<j)\,$ を一対比較したならば, ネットワーク $G\,$ で点 $i\,$ と点 $j\,$ を結ぶエッジは2本以上存在する. 従って一対比較ネットワーク $G\,$ のエッジの数は, $\textstyle |E|=\sum _{l=1}^{L}|K_{l}|\geq |K|\,$ である. $|K|<|E|\,$ であれば, ある評価項目（代替案）の組に対して重複評価が存在し, 逆も成り立つ. 一対比較ネットワーク $G\,$ において, 任意のノードは全てのノードと直接または間接的に連結されている必要がある.

　一対比較ネットワーク $G\,$ において, エッジでノードが結ばれている関係を示す行列を, 接続行列(Connection Matrix)として $C\in R^{n\times |E|}\,$ , 接続行列の列に割り当てられたエッジのならびに沿って, 各評価者の一対比較値を対数変換した値 ${\tilde {a}}_{ij}^{l}\,$ を並べたベクトルを, カットベクトル(Cut Vector)として ${\boldsymbol {p}}\,$ とする.

　大規模AHPでのウェイトベクトルの導出は, 誤差モデルを用いて, ウェイトベクトル ${\boldsymbol {w}}\,$ をを対数変換した ${\tilde {\boldsymbol {w}}}\,$ 推定することにより求められる. すなわち,

\min \|C^{\top }{\tilde {\boldsymbol {w}}}-{\boldsymbol {p}}\|^{2}=\min \sum _{l=1}^{L}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}({\tilde {\boldsymbol {w}}}_{i}-{\tilde {\boldsymbol {w}}}_{j}-{\tilde {a}}_{ij}^{l})^{2}\,

を満足する ${\boldsymbol {w}}\,$ を求める. いま $\|\cdot \|\,$ を $L_{2}\,$ ノルム(ユークリッドノルム) $\|\cdot \|_{2}\,$ とすると, ${\tilde {\boldsymbol {w}}}\,$ は正規方程式の解として, 以下のように与えられる.

CC^{\top }{\tilde {\boldsymbol {w}}}=C{\boldsymbol {p}}\,

しかし, 接続行列 $C\,$ のランクは $r(C)=n-1\,$ であり, ${\tilde {\boldsymbol {w}}}\,$ の解は一意に決定されない. そこで一般化逆行列を用いて,

{\tilde {\boldsymbol {w}}}=(CC^{\top }+{\boldsymbol {e}}{\boldsymbol {e}}^{\top })^{-1}C{\boldsymbol {p}}+{\frac {\tilde {\alpha }}{n}}{\boldsymbol {e}}\,

で与えられる. このとき ${\boldsymbol {e}}\,$ は全ての要素が $1\,$ のベクトル, $\alpha \,$ は ${\tilde {\boldsymbol {w}}}\,$ を対数逆変換した ${\boldsymbol {w}}\,$ の総和が1となるような実数である.

参考文献

[1] 八卷直一, 関谷和之, 「複数の評価者を想定した大規模なAHPの提案と人事評価への適用」, 『日本オペレーションズリサーチ学会論文誌』, 1999, 405-420.

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 '''【だいきぼAHP (large scale AHP) 】'''
-　[[大規模AHP]] (Large scale AHP)[1]とは, 複数の評価者を想定したAHPのモデルである. 通常のAHPとの違いは, 多数の代替案, 複数の評価者および欠落データを許している点である. つまり, 各評価者は多数の代替案に対し一対比較するのではなく, 相対評価できる代替案のみ一対比較するものである. AHPでは一人の評価者が全一対比較するため, 評価項目（代替案）の数を$n$とすると, 一対比較の回数は$n(n-1)/2$回となり, 評価項目（代替案）の数が増加すると, 一対比較の回数が爆発的に増加する. 例えば, 評価項目が1階層で, 5個の評価項目の場合, $5 \times (5-1)/2=10$回の一対比較を行う. さらに, 代替案が10個ある場合各評価項目に対し$10 \times (10-1)/2=45$回の一対比較を行う必要がある. 合計すると, 235回の一対比較する必要がある. これは, かなり困難な作業である. 大規模AHPは, 複数の評価者が評価を行うことと欠落データを許すことにより, 1人の評価者が行う一対比較する作業を軽減することができる.
+　[[大規模AHP]] (Large scale AHP)[1]とは, 複数の評価者を想定したAHPのモデルである. 通常のAHPとの違いは, 多数の代替案, 複数の評価者および欠落データを許している点である. つまり, 各評価者は多数の代替案に対し一対比較するのではなく, 相対評価できる代替案のみ一対比較するものである. AHPでは一人の評価者が全一対比較するため, 評価項目（代替案）の数を<math>n\, </math>とすると, 一対比較の回数は<math>n(n-1)/2\, </math>回となり, 評価項目（代替案）の数が増加すると, 一対比較の回数が爆発的に増加する. 例えば, 評価項目が1階層で, 5個の評価項目の場合, <math>5 \times (5-1)/2=10\, </math>回の一対比較を行う. さらに, 代替案が10個ある場合各評価項目に対し<math>10 \times (10-1)/2=45\, </math>回の一対比較を行う必要がある. 合計すると, 235回の一対比較する必要がある. これは, かなり困難な作業である. 大規模AHPは, 複数の評価者が評価を行うことと欠落データを許すことにより, 1人の評価者が行う一対比較する作業を軽減することができる.
-　AHPの重要度ベクトルの導出法には, 固有ベクトル法と幾何平均法(対数最小２乗法）があるが, 対数最小二乗法の考えを大規模な問題に適用した手法が大規模AHPである. AHPでは, 一人の評価者が同一階層の評価項目（代替案）間を全一対比較する必要がある. しかし, 評価項目（代替案）の項目数$n$が多くなるにつれて, 莫大な労力と時間が必要となる. そこで大規模AHPでは次のような評価方法を提案している.
+　AHPの重要度ベクトルの導出法には, 固有ベクトル法と幾何平均法(対数最小２乗法）があるが, 対数最小二乗法の考えを大規模な問題に適用した手法が大規模AHPである. AHPでは, 一人の評価者が同一階層の評価項目（代替案）間を全一対比較する必要がある. しかし, 評価項目（代替案）の項目数<math>n\, </math>が多くなるにつれて, 莫大な労力と時間が必要となる. そこで大規模AHPでは次のような評価方法を提案している.
-\bf「各評価者が相対評価できる評価項目（代替案）間のみに一対比較を行い, 一対比較による相対評価を行わない評価項目（代替案）間を許す. 相対評価された評価項目（代替案）間には一対比較値を割り当てる. 」}
+'''「各評価者が相対評価できる評価項目（代替案）間のみに一対比較を行い, 一対比較による相対評価を行わない評価項目（代替案）間を許す. 相対評価された評価項目（代替案）間には一対比較値を割り当てる. 」'''
-　大規模AHPでは, 一対比較ネットワークという考えを導入する. 一対比較ネットワークは, 次のように与える. 評価者は$L$人とし, このとき第$l$評価者が一対比較した評価項目（代替案）対の集合を,
+　大規模AHPでは, 一対比較ネットワークという考えを導入する. 一対比較ネットワークは, 次のように与える. 評価者は<math>L\, </math>人とし, このとき第<math>l\, </math>評価者が一対比較した評価項目（代替案）対の集合を,
-	K_l=\{(i,j)|\mbox{代替案$i,j(1 \le i<j \le n)$は第$l$評価者によって一対比較された. }\}
+<center><math>K_l=\{(i,j)|\, </math>代替案<math>i,j(1 \le i<j \le n)\, </math>は第<math>l\, </math>評価者によって一対比較された. <math>\} \, </math></center>
-\]
-とする. 第$l$評価者が評価項目（代替案）$i$に対して, 評価項目(代替案)$j$を一対比較した場合, その一対比較値を$a^l_{ij}$とする. いずれかの評価者によって一対比較された評価項目（代替案）対の集合$K$は, $K=\cup^L_{l=1}K_l$であり, また, いずれの評価者からも一対比較されなかった評価項目（代替案）対の集合$\bar{K}$は,
+とする. 第<math>l\, </math>評価者が評価項目（代替案）<math>i\, </math>に対して, 評価項目(代替案)<math>j\, </math>を一対比較した場合, その一対比較値を<math>a^l_{ij}\, </math>とする. いずれかの評価者によって一対比較された評価項目（代替案）対の集合<math>K\, </math>は, <math>K=\cup^L_{l=1}K_l\, </math>であり, また, いずれの評価者からも一対比較されなかった評価項目（代替案）対の集合<math>\bar{K}\, </math>は,
-	\bar{K}=\{(i,j)|1 \le i<j \le n\}\backslash K
-\]
-である. $\bar{K}\ne \phi$であれば, 一対比較されなかった評価項目（代替案）の組が存在し, 逆も成り立つ. 大規模AHPでは各評価者が一対比較しない評価項目（代替案）間の存在も許すので, $\bar{K}\ne \phi$となる場合もありえる. ここで, ノードの集合を$V=\{1,\ldots,n\}$, エッジの集合を$E$としたグラフ$G=(V,E)$を一対比較ネットワークと定義する.
+<center><math>\bar{K}=\{(i,j)|1 \le i<j \le n\}\backslash K  \, </math></center>
-　第$l_1$評価者と第$l_2(\ne l_1)$評価者が重複して評価項目（代替案）$i,j(i<j)$を一対比較したならば, ネットワーク$G$で点$i$と点$j$を結ぶエッジは2本以上存在する. 従って一対比較ネットワーク$G$のエッジの数は, $|E|=\sum^L_{l=1}|K_l|\geq |K|$である. $|K|<|E|$であれば, ある評価項目（代替案）の組に対して重複評価が存在し, 逆も成り立つ. 一対比較ネットワーク$G$において, 任意のノードは全てのノードと直接または間接的に連結されている必要がある.
-　一対比較ネットワーク$G$において, エッジでノードが結ばれている関係を示す行列を, 接続行列(Connection Matrix)として$C \in R^{n \times |E|}$, 接続行列の列に割り当てられたエッジのならびに沿って, 各評価者の一対比較値を対数変換した値$\tilde{a}^l_{ij}$を並べたベクトルを, カットベクトル(Cut Vector)として$\mbox{\boldmath$p$}$とする.
+である. <math>\bar{K}\ne \phi\, </math>であれば, 一対比較されなかった評価項目（代替案）の組が存在し, 逆も成り立つ. 大規模AHPでは各評価者が一対比較しない評価項目（代替案）間の存在も許すので, <math>\bar{K}\ne \phi\, </math>となる場合もありえる. ここで, ノードの集合を<math>V=\{1,\ldots,n\}\, </math>, エッジの集合を<math>E\, </math>としたグラフ<math>G=(V,E)\, </math>を一対比較ネットワークと定義する.
-　大規模AHPでのウェイトベクトルの導出は, 誤差モデルを用いて, ウェイトベクトル$\mbox{\boldmath$w$}$をを対数変換した$\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}$推定することにより求められる. すなわち,
+　第<math>l_1\, </math>評価者と第<math>l_2(\ne l_1)\, </math>評価者が重複して評価項目（代替案）<math>i,j(i<j)\, </math>を一対比較したならば, ネットワーク<math>G\, </math>で点<math>i\, </math>と点<math>j\, </math>を結ぶエッジは2本以上存在する. 従って一対比較ネットワーク<math>G\, </math>のエッジの数は, <math>\textstyle |E|=\sum^L_{l=1}|K_l|\geq |K|\, </math>である. <math>|K|<|E|\, </math>であれば, ある評価項目（代替案）の組に対して重複評価が存在し, 逆も成り立つ. 一対比較ネットワーク<math>G\, </math>において, 任意のノードは全てのノードと直接または間接的に連結されている必要がある.
+　一対比較ネットワーク<math>G\, </math>において, エッジでノードが結ばれている関係を示す行列を, 接続行列(Connection Matrix)として<math>C \in R^{n \times |E|}\, </math>, 接続行列の列に割り当てられたエッジのならびに沿って, 各評価者の一対比較値を対数変換した値<math>\tilde{a}^l_{ij}\, </math>を並べたベクトルを, カットベクトル(Cut Vector)として<math>\boldsymbol{p}\, </math>とする.
-	\min \| C^{\top} \tilde{\mbox{\boldmath$w$}} - \mbox{\boldmath$p$} \|^2
+　大規模AHPでのウェイトベクトルの導出は, 誤差モデルを用いて, ウェイトベクトル<math>\boldsymbol{w}\, </math>をを対数変換した<math>\tilde{\boldsymbol{w}}\, </math>推定することにより求められる. すなわち,
-=\min \sum_{l=1}^{L} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}_i-\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}_j-\tilde{a}^l_{ij})^2
-\]
-を満足する$\mbox{\boldmath$w$}$を求める. いま$\| \cdot \|$を$L_{2}$ノルム(ユークリッドノルム)$\| \cdot \|_2$とすると, $\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}$は正規方程式の解として, 以下のように与えられる.
+<center><math>\min \| C^{\top} \tilde{\boldsymbol{w}} - \boldsymbol{p} \|^2 =\min \sum_{l=1}^{L} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (\tilde{\boldsymbol{w}}_i-\tilde{\boldsymbol{w}}_j-\tilde{a}^l_{ij})^2 \, </math></center>
-	CC^{\top}\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}=C\mbox{\boldmath$p$}
-\]
-しかし, 接続行列$C$のランクは$r(C)=n-1$であり, $\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}$の解は一意に決定されない. そこで一般化逆行列を用いて,
+を満足する<math>\boldsymbol{w}\, </math>を求める. いま<math>\| \cdot \|\, </math>を<math>L_{2}\, </math>ノルム(ユークリッドノルム)<math>\| \cdot \|_2\, </math>とすると, <math>\tilde{\boldsymbol{w}}\, </math>は正規方程式の解として, 以下のように与えられる.
-	\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}=(CC^{\top}+\mbox{\boldmath$e$}\mbox{\boldmath$e$}^{\top})^{-1}C\mbox{\boldmath$p$}+\frac{\tilde{\alpha}}{n}\mbox{\boldmath$e$}
+<center><math>CC^{\top}\tilde{\boldsymbol{w}}=C\boldsymbol{p} \, </math></center>
-\]
-で与えられる. このとき$\mbox{\boldmath$e$}$は全ての要素が$1$のベクトル, $\alpha$は$\tilde{\mbox{\boldmath$w$}}$を対数逆変換した$\mbox{\boldmath$w$}$の総和が$1$となるような実数である.
+しかし, 接続行列<math>C\, </math>のランクは<math>r(C)=n-1\, </math>であり, <math>\tilde{\boldsymbol{w}}\, </math>の解は一意に決定されない. そこで一般化逆行列を用いて,
+<center><math>\tilde{\boldsymbol{w}}=(CC^{\top}+\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^{\top})^{-1}C\boldsymbol{p}+\frac{\tilde{\alpha}}{n}\boldsymbol{e} \, </math></center>
+で与えられる. このとき<math>\boldsymbol{e}\, </math>は全ての要素が<math>1\, </math>のベクトル, <math>\alpha\, </math>は<math>\tilde{\boldsymbol{w}} \, </math>を対数逆変換した<math>\boldsymbol{w}\, </math>の総和が1となるような実数である.
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 '''参考文献'''
-[1]} 八卷直一, 関谷和之, 「複数の評価者を想定した大規模なAHPの提案と人事評価への適用」, 『日本オペレーションズリサーチ学会論文誌』, 1999, 405-420.
+[1] 八卷直一, 関谷和之, 「複数の評価者を想定した大規模なAHPの提案と人事評価への適用」, 『日本オペレーションズリサーチ学会論文誌』, 1999, 405-420.
+[[category:AHP(階層的意思決定法)|だいきぼえいえいちぴー]]

「《大規模AHP》」の版間の差分

2007年8月7日 (火) 17:08時点における最新版

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