積率母関数

【せきりつぼかんすう (moment generating function)】

確率分布関数 $F(x)\,$ をもつ分布, または確率変数 $X\,$, に対して, 実数 $\theta \,$ をパラメータとする関数 $\textstyle \phi (\theta )=\mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\theta X})=\int \mathrm {e} ^{\theta x}\mathrm {d} F(x)\,$ を積率母関数と呼ぶ. 積率母関数が存在するためには, 任意の次数のモーメントが存在しなければならないが, よく使われるほとんどの分布は積率母関数をもつ. 積率母関数が存在する場合には, $\theta \,$ に形式的に ${\mbox{i}}t\,$ (${\mbox{i}}\,$は虚数単位)を代入することで特性関数が得られる.