「劣勾配」の版間の差分
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| − | 真凸関数 | + | 真凸関数 <math>f: {\bf R}^n \to (-\infty,+\infty)\,</math> に対して, 次式を満足するベクトル <math>\xi \in {\bf R}^n\,</math> を <math>f\,</math> の <math>x\,</math> における劣勾配といい, 劣勾配全体の集合を <math>\partial f(x)\,</math> と表す. |
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| − | 真凸関数はその実効定義域 | + | 真凸関数はその実効定義域 <math>\mbox{dom} \, f := \{ x \, | \, f(x) < \infty \}\,</math> の任意の相対的内点において, 少なくとも1つの劣勾配をもつ. 特に, 凸関数 <math>f\,</math> が点 <math>x\,</math> において微分可能ならば, <math>f\,</math> の <math>x\,</math> における劣勾配は唯一存在し, 通常の勾配 <math>\nabla f(x)\,</math> に等しい. |
2007年7月11日 (水) 14:36時点における版
【れつこうばい (subgradient)】
真凸関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f: {\bf R}^n \to (-\infty,+\infty)\,} に対して, 次式を満足するベクトル 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \xi \in {\bf R}^n\,} を 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\,} の 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\,} における劣勾配といい, 劣勾配全体の集合を 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \partial f(x)\,} と表す.
\[
f(y) \ge f(x) + \xi^{\top}(y-x) \quad\quad \forall \, y \in {\bf R}^n \]
真凸関数はその実効定義域 の任意の相対的内点において, 少なくとも1つの劣勾配をもつ. 特に, 凸関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\,}
が点 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\,}
において微分可能ならば, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\,}
の 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\,}
における劣勾配は唯一存在し, 通常の勾配 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \nabla f(x)\,}
に等しい.
