エルゴード定理

【えるごーどていり (ergodic theorem)】

定常な離散時間確率過程$\{ X_n \}$が有限な平均値をもつならば, 確率1で

\[

 \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mbox{E}(X_1|{\cal G})

\]

が成り立つ. ここで,

${\cal G}$は$\{ X_n \}$ のずらしに関する不変事象の$\sigma$-集合体である. この結果を, (離散時間)エルゴード定理と呼ぶ. 特に、$\{ X_n\}$ がエルゴード的ならば右辺は $\mbox{E}(X_1)$ となる。連続時間確率過程についても同様である。