《不変埋没原理》

【ふへんまいぼつげんり (principle of invariant imbedding)】

　ある問題を解こうとするとき, この問題を含む部分問題からなる群(族)を考えることを「埋め込み」(imbedding)という. すなわち, 与問題をある問題群の１つと見做すことである. このとき, 問題の大きさは小さい(易しい)ものから大きい(難しい)ものまであり, 一番大きい(解きたい)問題が与問題である. しかし, 問題の「構造」は不変である. さらに, 相隣る問題間の関係式を導き, これを解くことによって, 与問題の「解」を求める. このような方法で解に至るまでを, 不変埋没原理 (principle of invariant imbedding)による方法という [1] [4] [5].

　たとえば,「1から10までの自然数の和を求める」問題を考えてみよう. 以下ではいつも「1から」(前向きの方法で)考えることにして, この問題を ${\rm {P}}(10)\,$ で表わし, 「解」(この場合, 和)を $S(10)\,$ としよう. このとき, 「1から $n\,$ までの自然数の和を求める」部分問題 ${\rm {P}}(n)\,$ からなる群 $\{{\rm {P}}(n);n=1,2,\ldots ,10\}\,$ を考える. このこと自体が埋め込みである. 部分問題 ${\rm {P}}(n)\,$ の解($=\,$和)を $S(n)\,$ とする. 最後の(一番大きい)問題 ${\rm {P}}(10)\,$ の解 $S(10)\,$ が求める解である. このとき, 最初の (一番易しい) 問題の解は $S(1)=1\,$ であり, 相隣る問題の解 $S(n)\,$ と $S(n+1)\,$ の間に漸化式

$S(n+1)=S(n)+n+1\quad n=1,2,\ldots ,9;\quad S(1)=1\,$

が成り立つ. 漸化式を $S(1),S(2),\ldots \,$ の順に前向きに逐次解くことによって, $S(10)=55\,$ を得る. 他方, 「$n\,$ から(いつも！)10までの自然数の和を求める」部分問題 ${\rm {Q}}(n)\,$ の族を考えても, 上述と同様に解くことができる. これを後向きの埋め込みという.

　一般の問題では, どのような大きさの問題群に埋め込むか, 関係式が導けるか, 解けるか, 解き易いかなど, 埋め込み方に工夫を要する. たとえば, 多段階の最適化問題

${\mbox{max.}}~~\psi (g_{1}(x_{1},x_{2})\circ g_{2}(x_{2},x_{3})\circ \cdots \circ g_{N}(x_{N},x_{N+1})\circ k(x_{N+1}))\,$

${\mbox{s. t.}}~~~x_{n+1}\in A_{n}(x_{n})\quad (1\leq n\leq N),\,$

の最大値 $u_{1}(x_{1})\,$ と最大点 $x^{*}=(x_{1},x_{2}^{*},\ldots ,x_{N+1}^{*})\,$ を求めるには, 新たなパラメータ $\lambda _{n}(\in \Lambda _{n}(x_{n}))\,$ を含む部分問題群 ${\mathcal {P}}=\{{\rm {P}}_{n}(x_{n};\lambda _{n})\}\,$ :

${\rm {max.}}~~\psi (\lambda _{n}\circ g_{n}(x_{n},x_{n+1})\circ \cdots \circ g_{N}(x_{N},x_{N+1})\circ k(x_{N+1}))\,$

${\mbox{s. t.}}~~~x_{m+1}\in A_{m}(x_{m})\quad (n\leq m\leq N),\,$

$x_{n}\in X_{n},~~\lambda _{n}\in \Lambda _{n}(x_{n}),~~(1\leq n\leq N+1),\,$

に埋め込むと, パラメータ空間列 $\{\Lambda _{n}(\cdot )\}\,$ は前向きの再帰式

$\Lambda _{1}(x)=\{{\tilde {\lambda }}\},~~x\in X_{1}\,$ $({\tilde {\lambda }}\,$は結合演算$\circ \,$の左単位元$)\,$

${\begin{array}{lr}\Lambda _{n+1}(y)=&\{\,\lambda \circ g_{n}(x,\,y)\,|\,\lambda \in \Lambda _{n}(x),~y\in A_{n}(x)\,\}\\&y\in X_{n+1},~~n=1,2,\ldots ,N\end{array}}\,$

で生成され, 最適値関数 $u_{n}=u_{n}(x_{n};\lambda _{n})\,$は次の後向き再帰式を満たす：

$u_{n}(x;\lambda )=\max _{y\in A_{n}(x)}u_{n+1}(\,y\,;\lambda \circ g_{n}(x,\,y))\,$

$x\in X_{n},~~\lambda \in \Lambda _{n}(x),~~n=1,2,\ldots ,N\,$

$u_{N+1}(x;\lambda )=\psi (\lambda \circ k(x))~~x\in X_{N+1},~~\lambda \in \Lambda _{N+1}(x).\,$

これを後ろから逐次解き, 最後の $u_{1}(x_{1};\lambda _{1})\,$ に $\lambda _{1}={\tilde {\lambda }}\,$ を代入すると求める最大値が得られる： $u_{1}(x_{1})=u_{1}(x_{1};{\tilde {\lambda }}).\,$

　また, 非最適化問題としては, 木の総容量など, 多重和 (多重和の解法)

${\mbox{S}}_{1}(x_{1}):~~\displaystyle {\sum \sum \cdots \sum }_{(x_{2},x_{3},\cdots ,x_{N+1})\in P_{1}(x_{1})}\psi (g_{1}(x_{1},x_{2})\circ \cdots \circ g_{N}(x_{N},x_{N+1})\circ k(x_{N+1}))\,$

$(P_{1}(x_{1}):=\{(x_{2},\cdots ,x_{N+1})\,|\,x_{n+1}\in A_{n}(x_{n})~~1\leq n\leq N\})\,$

を求める問題があって, やはりパラメータを含む埋め込みによって解くことができる.

　このようなパラメータを導入した埋め込みは非可分性(動的計画法における) に起因し, 単一評価系(多段決定過程における), 複合評価系(多段決定過程における)の最適化, 期待値最適化, 多重和, 多重積分 (多重積分の解法) などで考えられる [2] [3]. 不変埋没原理は変数の離散と連続, システムの確定や確率やファジィ, 問題の最適と非最適を問わず, 歴史的には数学(微分方程式, 偏微分方程式の応用), 物理数学などで, また近年はコンピュータサイエンスで幅広く用いられている.

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参考文献

[1] R. E. Bellman and E. D. Denman, Invariant Imbedding, Lect. Notes in Operation Research and Mathematical Systems, Vol. 52, Springer-Verlag, Berlin, 1971.

[2] S. Iwamoto and T. Fujita, "Stochastic Decision-making in a Fuzzy Environment," Journal of the Operations Research Society of Japan, 38 (1995), 467-482.

[3] 岩本誠一,「不変埋没によるファジィ動的計画法」, 日本オペレーションズ・リサーチ学会第33回シンポジウム, 25-33, 1995.

[4] E. S. Lee, Quasilinearization and Invariant Imbedding, Academic Press, 1968.

[5] 相良節夫, 杉坂政典,「Invariant Imbedding について」,『システムと制御』, 17 (1973), 596-601.