双対性理論

そうついせいりろん}{duality theory}

　双対性理論 (duality theory)は，非線形計画のみならず線形計画，多目的計画，離散凸解析などの分野で主問題とその双対問題の関係，および集合や関数の双対関係を説明する重要な基礎理論である [1, 2, 3, 4]．

　「双対」 (dual) と「共役」 (conjugate) は元々同義語として用いられ，数学の関数解析の分野では，ノルム空間 $X\,$ 上の有界線形汎関数の全体を$X\,$ の双対空間 (dual space) または共役空間 (conjugate space) といい，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X^{*}\, } と表して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\in{X}\, } における $x^{*}\in {X^{*}}$ の値を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \langle x, x^{*}\rangle} または 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^{*}(x)} と書く．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X\, } が 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n\, } 次元実ユークリッド空間 $\mathbf {R} ^{n}$ の場合は，$(\mathbf {R} ^{n})^{*}$ と $\mathbf {R} ^{n}$ は同一視でき，$(\mathbf {R} ^{n})^{**}=\mathbf {R} ^{n}$ となり，$\langle x,x^{*}\rangle$ は$x\,$ と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^{*}\, } の内積 $x^{\top }x^{*}$ となる．以下に述べる事柄は，無限次元空間に対しても拡張できるが，ここでは簡単のため $\mathbf {R} ^{n}$ に限定して説明する． 　空間 $\mathbf {R} ^{n}$ 上で定義された拡張実数値関数 $f:\mathbf {R} ^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ に対して(ただし，${\bar {\mathbf {R} }}=\mathbf {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$)，

$f^{*}(\xi ):=\sup _{x\in {\mathbf {R} ^{n}}}\{\,\xi ^{\top }x-f(x)\,\}$

で定義される関数 $f^{*}\,$ を $f\,$ の共役関数 (conjugate function) という．共役関数 $f^{*}\,$ に対して，さらにその共役関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^{**}=(f^*)^{*}} を考えることができるが，$f\,$ が下半連続な真凸関数のときには，$f^{**}\,$ は $f\,$ に一致する．構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f\, } に $f^{*}\,$ を対応させる写像をルジャンドル-フェンシェル変換 (Legendre-Fenchel transform) と呼ぶ．

　下半連続な真凸関数 $f:\mathbf {R} ^{n}\times {\mathbf {R} ^{m}}\to {\bar {\mathbf {R} }}$に対して，関数 $\varphi :\mathbf {R} ^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ と $\psi :\mathbf {R} ^{m}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ をそれぞれ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \varphi{(x)}:=f(x,0)} と $\psi {(y)}:=-f^{*}(0,y)$ で定義し，次の問題(P)と(D)を主問題 (primal problem) とその双対問題 (dual problem) と呼ぶ [1, 4]．

\begin{center} \end{center}

構文解析に失敗 (不明な関数「\begin{tabular}」): {\displaystyle \begin{tabular}{cll} (P) & \min_{x\in \mathbf{R}^n} & \hspace*{-5mm} \varphi{(x)} \\ (D) & \max_{y\in \mathbf{R}^m} & \hspace*{-5mm} \psi{(y)} \end{tabular} }

また，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U:=\{u\in{\mathbf{R}^m}\,|\:\inf_{x\in{\mathbf{R}^n}}f(x,u)<+\infty\} \quad V:=\{v\in{\mathbf{R}^n}\,|\:\inf_{y\in{\mathbf{R}^m}}f^{*}(v,y)<+\infty\}}

とおくと，$U\,$ と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V\, } は凸集合となる．このとき，以下が成立する．

\medskip \noindent (i) \ $\inf _{x}\varphi {(x)}\geq \sup _{y}\psi {(y)}$ \\ (ii) \ 構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle 0\in{\mbox{\rm int}\,U}\;} または構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \; 0\in{\mbox{\rm int}\,V} \Longrightarrow\inf_{x}\varphi{(x)}=\sup_{y}\psi{(y)} }

ここで，構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{\rm int}\,U} は $U\,$ の内部を表す．(i)を弱双対定理 (weak duality theorem)，(ii)を双対定理 (duality theorem) と呼び，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \inf_{x}\varphi{(x)}=\sup_{y}\psi{(y)}} が満たされるとき，主問題(P)と双対問題(D)の間に双対性 (duality) が成立するという．(i)により，\$sup_{y}\psi {(y)}=+\infty$ なら主問題(P)は実行可能解を持たないが，$-\infty <\varphi {({\bar {x}})}=\psi {({\bar {y}})}<+\infty$ となる ${\bar {x}}$ と ${\bar {y}}$ が存在すれば，それぞれ(P)と(D)の最適解となり，強い意味の双対性が成立する．一方，$\inf _{x}\varphi {(x)}>\sup _{y}\psi {(y)}$ となるとき，主問題と双対問題の間に双対性のギャップ (duality gap) が存在するという．

　主問題(P)において，$f(x,u):=c^{\top }x+k(x)+h(b-Ax+u)$（ただし，$k:\mathbf {R} ^{n}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ と $h:\mathbf {R} ^{m}\to {\bar {\mathbf {R} }}$ は下半連続な真凸関数で$A\in {\mathbf {R} ^{m\times {n}}}$, $b\in {\mathbf {R} ^{m}}$, 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\in{\mathbf{R}^n}} ）とすると，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^{*}(v,y)=-b^{\top}y+h^{*}(y)+k^{*}(A^{\top}y-c+v)} となり [4]，主問題(P)と双対問題(D)はそれぞれ

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{eqnarray} \mbox{\rm min}_{x\in \mathbf{R}^n} && \hspace*{-5mm} c^{\top}x+k(x)+h(b-Ax) \label{A-B-03+siki1}\\ \mbox{\rm max}_{y\in \mathbf{R}^m} && \hspace*{-5mm} b^{\top}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{\top}y-c) \label{A-B-03+siki2} \end{eqnarray} }

となる．ここで構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b\in\mbox{\rm int}\,(A\mbox{\rm dom}k+\mbox{\rm dom}h)} または構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\in\mbox{\rm int}\,(A^{\top}\mbox{\rm dom}h^{*}-\mbox{\rm dom}k^{*})} が成立すれば，(ii)により主問題 (1) と双対問題 (2) の間に双対性が成立する．（ただし，dom は拡張実数値関数の実効定義域を表す．）これをフェンシェルの双対性 (Fenchel duality) と呼んでいる．通常は，簡略化して 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c\, } と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b\, } を零ベクトル，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -A\, } を恒等写像として，新たに構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)\, } を凸関数 $f_{1}(x):=k(x)$ と凹関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_2(x):=-h(x)} の差で表し，主問題 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}} をフェンシェルの双対問題 (Fenchel dual problem) と呼ぶ．ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_{2}^{*}(y):=\inf_{x\in{\mathbf{R}^n}}\{y^{\top}x-f_{2}(x)\}} ．双対性は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{\rm int}\,(\mbox{\rm dom}f_1)\,\cap\, \mbox{\rm int}\,(\mbox{\rm dom}f_2)\neq\emptyset} のとき成立する．また，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k(x):=\sup_{s\le{0}}x^{\top}s, h(z):=\sup_{w\ge{0}}z^{\top}w} とすると，(1) と(2) は線形計画の主問題と双対問題となる [2, 4]．

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{center} \begin{tabular}{clcll} (P_{LP}) & min. & c^{\top}x & s. t. & x\ge{0}, \ Ax\ge{b}. \\ (D_{LP}) & max. & b^{\top}y & s. t. & y\ge{0}, \ A^{\top}y\le{c}. \end{tabular} \end{center} }

次に，ラグランジュ関数 (Lagrangian function) を

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{equation} \label{A-B-03+siki3} L(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)-y^{\top}u \,\} \end{equation}}

と定義する．構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle -L(x,\cdot)=\left(f(x,\cdot)\right)^{*},　f(x,\cdot)=\left(-L(x,\cdot)\right)^{*}} が成立しているので，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{equation} \label{A-B-03+siki4} \varphi{(x)}=\sup_{y}L(x,y), \quad\quad \psi{(y)}=\inf_{x}L(x,y) \end{equation}}

となる．通常，$\inf _{x}L(x,{\bar {y}})=L({\bar {x}},{\bar {y}})=\sup _{y}L({\bar {x}},y)$ すなわち，すべての 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x\in{\mathbf{R}^n}} と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y\in{\mathbf{R}^m}} に対して構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L(x,\bar{y})\ge{L(\bar{x},\bar{y})}\ge{L(\bar{x},y)}} が成り立つとき，$({\bar {x}},{\bar {y}})$ を関数 $L\,$ の 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{R}^{n}\times{\mathbf{R}^m}} 上での鞍点 (saddle point) と呼ぶ．(4) により，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \medskip \noindent (iii) \ \inf_{x}\varphi{(x)}=\inf_{x}\,[\,\sup_{y}L(x,y)\,] \ge\sup_{y}\,[\,\inf_{x}L(x,y)\,]=\sup_{y}\psi{(y)} \\ (iv) \ \varphi{(\bar{x})}=\inf_{x}\varphi{(x)} =\sup_{y}\psi{(y)}=\psi{(\bar{y})} \Longleftrightarrow (\bar{x},\bar{y}) が L の鞍点 \\ \hspace*{1cm} \Longleftrightarrow \min_{x}\sup_{y}L(x,y)=\max_{y}\inf_{x}L(x,y) \Longleftrightarrow \varphi{(\bar{x})}=L(\bar{x},\bar{y})=\psi{(\bar{y})} \medskip \noindent }

が成立する．(iv) を鞍点定理 (saddle point theorem) と呼ぶ．非線形計画問題

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \mbox{(NLP)} \; \; \mbox{min.} \ f_{0}(x) \quad \mbox{s. t.} \; \; g_{i}(x)\le{0} \ (i=1,\ldots, k), \ h_{j}(x)=0 \ (j=1,\ldots,l),}

(ただし，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_0,g_i,h_j} は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{R}^n} で定義された実数値関数，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k+l=m} ) に対して，

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{center} \begin{tabular}{r@{}l} F(x)\,&:=(g_{1}(x),\ldots,g_{k}(x),h_{1}(x),\ldots,h_{l}(x))^{\top}\\ \theta(w)\,&:=\sup_{\lambda,\mu}\{\lambda^{\top}w_{1}+\mu^{\top}w_{2}\,|\, (\lambda,\mu)\in{\mathbf{R}^{k}_{+}\times{\mathbf{R}^{l}}},w=(w_1,w_2)^{\top}\}\\ f(x,u)\,&:=f_{0}(x)+\theta{(F(x)+u)} \end{tabular} \end{center} }

とおくと，(3) により構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L(x,y)=f_{0}(x)+y^{T}F(x)-\theta^{*}(y)} となり，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y=(\lambda,\mu)=(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k},\mu_{1},\ldots,\mu_{l}) \in{\mathbf{R}^{k}_{+}\times{\mathbf{R}^{l}}}} に対する問題(NLP)のラグランジュ関数は

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{equation} L(x,\lambda,\mu)=f_{0}(x)+\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}g_{i}(x) +\sum_{j=1}^{l}\mu_{j}h_{j}(x) \end{equation}}

となる．この 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\lambda,\mu)} をラグランジュ乗数 (Lagrange multipliers) と呼ぶ．このとき，主問題と双対問題は

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{center} \begin{tabular}{cllll} (P_{L}) & min. & \displaystyle \sup_{\lambda\ge{0},\mu} L(x, \lambda, \mu) & s. t. & \displaystyle{x \in {\mathbf{R}^n}}, \\ (D_{L}) & max. & \displaystyle \inf_{x} L(x,\lambda,\mu) & s. t. & \displaystyle{0 \le \lambda \in {\mathbf{R}^{k}}}, \ \displaystyle \mu \in {\mathbf{R}^{l}}, \end{tabular} \end{center} }

となり，一般に問題(D_{L})をラグランジュの双対問題 (Lagrangian dual problem)と呼ぶ．鞍点定理により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\, } の鞍点 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu})} が存在すれば，つまり

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \max_{\lambda\ge{0},\mu}L(\bar{x},\lambda,\mu)=L(\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu}) =\min_{x}L(x,\bar{\lambda},\bar{\mu})}

が成立すれば，${\bar {x}}$ と 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{\lambda},\bar{\mu})} はそれぞれ問題(P構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle _{L}} )と(D構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle _{L}} )の最適解となり最適値が一致する．これをラグランジュの双対性 (Lagrangian duality) と呼ぶ．(iv)により，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \min_{x}\sup_{y}L(x,y)=\max_{y}\inf_{x}L(x,y)} が成立すれば，この双対性が保証される．この等式に対する十分条件を述べた定理をミニマックス定理(minimax theorem) と呼ぶ [1]． 逆に，主問題の目的関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f_0\, } と制約関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g_i\, } がすべて凸で，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h_j\, } がすべてアフィン関数であるような凸計画問題 (convex programming problem) においては，適当な条件のもとで，問題(P構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle _{L}} )の最適解 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{x}} に対して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{\lambda}\ge{0}} であるようなラグランジュ乗数 $({\bar {\lambda }},{\bar {\mu }})$ が存在して，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar{x},\bar{\lambda},\bar{\mu})} がラグランジュ関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\, } の鞍点となる．さらに，次のような拡張ラグランジュ関数(augmented Lagrangian function) に基づく双対性も考えられている [2, 3, 4]．

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\}}

ただし，$r\,$ は正定数，構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\bar{\mathbf{R}}} は 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u\neq{0}} に対して 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)}} を満足する下半連続な真凸関数である．関数 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma} の例としては 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma{(u)}:=\frac{1}{2}\|u\|^{2}} などがある．

[1] I. Ekeland and R. Temam, Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, Amsterdam, 1976.

[2] 福島雅夫,『非線形最適化の基礎』, 朝倉書店, 2001.

[3] 今野浩, 山下浩,『非線形計画法』, 日科技連, 1978.

[4] R.T. Rockafellar and R. J-B. Wets, Variational Analysis, Springer, Berlin, 1998.