自己回帰和分移動平均モデル

【じこかいきわぶんいどうへいきんもでる (autoregressive integrated moving average (ARIMA) model)】

$y_{t}\,$ を非定常過程とし,$\varepsilon _{t}\,$ を${\mbox{E}}(\varepsilon _{t})=0\,$,${\mbox{V}}(\varepsilon _{t})=\sigma ^{2}\,$,${\mbox{E}}(\varepsilon _{t}\varepsilon _{s})=0\,$ $(t\neq s)\,$のホワイトノイズとする.$L\,$ をラグ演算子 $L^{i}y_{t}=y_{t-i}\,$,$L^{i}\varepsilon _{t}=\varepsilon _{t-i}\,$($i=1,2,\cdots \,$),$\phi (L)\,$, $\theta (L)\,$ を $\textstyle \phi (L)\equiv 1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}L^{i}\,$,$\textstyle \theta (L)\equiv 1+\sum _{i=1}^{p}\theta _{i}L^{i}\,$とする.$d\,$ を自然数として, $y_{t}\,$ の $d\,$ 階階差 $(1-L)^{d}y_{t}\,$ が定常な${\mbox{ARMA}}(p,q)\,$ モデルで表現できるとき, モデル $\phi (L)(1-L)^{d}y_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,$を次数 $(p,d,q)\,$ の自己回帰和分移動平均モデルと呼び, ${\mbox{ARIMA}}(p,d,q)\,$ モデルと略記する.