確率積分

【かくりつせきぶん (stochastic integral)】

ブラウン運動 $\{B(t)\}_{t\geq 0}\,$ と $\textstyle \mathrm {E} (\int _{0}^{t}\Psi (s)^{2}\,\mathrm {d} s)<\infty \,$ を満たす確率過程 $\{\Psi (s)\}_{t\geq 0}\,$ に対し, $[0,t]\,$ を $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=t\,$ かつ $\lim _{n\to \infty }\max _{i}(t_{i+1}-t_{i})=0\,$ となるように分割したとき,

$N(t)=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}\Psi (t_{i})\,{\bigl (}B(t_{i+1})-B(t_{i}){\bigr )}\,$

によってマルチンゲール$\{N(t)\}_{t\geq 0}\,$ が一意に定まる. この $\{N(t)\}_{t\geq 0}\,$ を $\{B(t)\}_{t\geq 0}\,$ による $\{\Psi (t)\}_{t\geq 0}\,$の(伊藤型の)確率積分という.