劣勾配のソースを表示

'''【れつこうばい (subgradient)】'''

真凸関数 <math>f: {\mathbf R}^n \to (-\infty,+\infty)\,</math> に対して, 次式を満足するベクトル <math>\xi \in {\mathbf R}^n\,</math> を <math>f\,</math> の <math>x\,</math> における劣勾配といい, 劣勾配全体の集合を <math>\partial f(x)\,</math> と表す.

 
<center>
<math>f(y) \ge f(x) + \xi^{\top}(y-x) \quad\quad \forall \, y \in {\mathbf R}^n</math>
</center>


真凸関数はその実効定義域 <math>\mbox{dom} \, f := \{ x \, | \, f(x) < \infty \}\,</math> の任意の相対的内点において, 少なくとも1つの劣勾配をもつ. 特に, 凸関数 <math>f\,</math> が点 <math>x\,</math> において微分可能ならば, <math>f\,</math> の <math>x\,</math> における劣勾配は唯一存在し, 通常の勾配 <math>\nabla f(x)\,</math> に等しい.

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