分布の弱収束のソースを表示

'''【ぶんぷのじゃくしゅうそく (weak convergence of distribution) 】'''

　<math>(S,\mathcal{B}(S))</math>を<math>S</math>を距離空間とするボレル可測空間とする．この可測空間上の確率分布の列<math>\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots</math>と確率分布<math>\nu</math>が，<math>(S,\mathcal{B}(S))</math>上の任意の有界な実数値連続関数$f$に対して，
<table align="center">
<tr>
<td><math>\lim_{n \to \infty} \int_{S} f(x) \mu_{n}(dx) = \int_{S} f(x) \nu(dx)</math>
</td>
</tr>
</table>
を満たすとき，<math>n \to \infty</math>に対して<math>\mu_{n}</math>は<math>\nu</math>へ弱収束するという．これは<math>\mathbf{X}_{n}</math>を確率分布<math>\mu_{n}</math>に従うランダムな変量，<math>\mathbf{Y}</math>を確率分布<math>\nu</math>に従うランダムな変量とするとき，<math>(S,\mathcal{B}(S))</math>上の任意の有界な実数値連続関数<math>f</math>に対して
<table align="center">
<tr>
<td><math>\lim_{n \to \infty} E(f(\mathbf{X}_{n})) = E(f(\mathbf{Y}))</math>
</td>
</tr>
</table>
が成り立つことに等しい．特に，<math>S=(-\infty,+\infty)</math>ならば，<math>\mu_{n}</math>の分布関数<math>F_{n}(x)</math>が<math>\nu</math>の分布関数<math>G(x)</math>に<math>G</math>のすべての連続点<math>x</math>で収束することに等しい．