安定分布のソースを表示

'''【あんていぶんぷ (stable distribution) 】'''
		
　確率変数列<math>X_{1}, X_{2}, \ldots</math>は独立で同一の分布<math>F</math>に従うとする．このとき，任意の<math>n</math>に対して，ある数<math>a_{n}, b_{n}</math>があり，
\begin{eqnarray*}
  X_{1} + \ldots + X_{n} \cong a_{n} X_{1} + b_{n}
\end{eqnarray*}
ならば，<math>F</math>は安定(stable)であるという．ここに，<math>\cong</math>は分布が等しいことを表す．<math>F</math>が安定ならば，<math>0 < \alpha \le 2</math>を満たすある<math>\alpha</math>に対して，<math>a_{n} = n^{\frac 1{\alpha}}</math>が成り立つ．このとき，<math>F</math>は<math>\alpha</math>-安定であるという．例えば，正規分布は<math>\alpha=2</math>の安定分布であり，コーシー分布(Cauchy distribution)は<math>\alpha=1</math>の安定分布である．ここに，コーシー分布とは密度関数
\begin{eqnarray*}
  f(x) = \frac {a} {\pi ((x-b)^{2} + a^{2})}, \qquad -\infty < x < \infty
\end{eqnarray*}
をもつ分布である．ここに，<math>a</math>は正の定数，<math>b</math>は実数の定数である．